专题12 反比例函数与几何综合压轴题的五种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题12 反比例函数与几何综合压轴题的五种考法 类型一、平行四边形存在性问题 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，分别过点作轴、轴的垂线，两垂线交于点，函数的图像与线段交于点交于点．    (1)求线段的长度； (2)试判断点是否在函数的图像上，并说明理由； (3)已知，点在轴上，点在函数的图像上，当四边形为平行四边形时，求点的坐标． 【变式训练1】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，．    (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)点为轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将直线向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点，交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标；并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点． (1)m与n的数量关系是(   ) A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合． ①求点P的坐标及反比例函数的表达式； ②连接、，则的面积为_____； (3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交反比例函数的图象于点，点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点F，D是y轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形； (3)点M是一次函数图像上一动点，点N是反比例函数图像上一动点，当四边形为平行四边形时，求出点M的坐标． 类型二、菱形存在性问题 例．如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，直线与反比例函数的图象相交于点A、点，与轴交于点，其中点A的坐标为，点的横坐标为． (1)试确定反比例函数的关系式； (2)直接写出不等式的解集． (3)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【变式训练2】如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，，动点在轴的上方，且满足． (1)_________． (2)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标； (3)连接、，求的最小值； (4)若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点P的坐标． 【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C． (1)求点A和点C的坐标； (2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值； (3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、矩形存在性问题 例．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．    (1)如图1，若点坐标为． ①求，的值； ②若点的横坐标为，连接，求的面积． (2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值． 【变式训练1】如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离； (3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 【变式训练2】如图，直线分别与x轴交于B，C两点，与y轴交于A，D两点，且，线段的长分别是方程的两根，并且． (1)求点D的坐标； (2)求过点E的反比例函数解析式； (3)若点M在坐标轴上，