专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题10 相似三角形中的动点问题的三种考法 类型一、相似三角形存在性问题 例1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为 ． 例2．如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点． （1）求的长； （2）连接，当时，求的长； （3）连接，当和相似时，请直接写出的长． 【变式训练1】建立如图所示们平面直角坐标系中，矩形的点以点为旋转中心，为起始边，逆时针方向，直角边交射线于点，直角边交轴于点．        (1)当时，求点的坐标； (2)在旋转过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，诗求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】如图，，A（3，0），C（，0），． (1)直接写出线段的长是___________，点B的坐标是___________； (2)已知点D在x轴上（不与点C重合），连接，若与相似，则点D坐标是___________； (3)在（2）的条件下，点P、Q分别是和上的动点，连接，设，是否存在k的值，使与相似？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 类型二、几何图形存在性问题 例1．如图，在中，，，，E、D分别是的中点，连接．Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点Q停止运动时，点P也停止运动。连接，设运动时间为ts．答下列问题： (1)请直接用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，以点D、P、Q为顶点的三角形与相似？ (3)当t为何值时，为等腰三角形（直接写出） 例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴、轴的正半轴上，，．点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是秒．将线段的中点绕点按顺时针方向旋转得点，点随点的运动而运动，连接，．    (1)当时，点的坐标是 ； (2)请用含的代数式表示出点的坐标 ； (3)在点从向运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求的值．若不能，请说明理由． 例3．综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似； (3)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 【变式训练1】．如图，在矩形中，是对角线，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度是；点从点出发，沿方向匀速运动，速度是1．两点同时出发，设运动时间为，请回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)当为何值时，四边形的面积等于矩形面积的？ (4)当为 时，是等腰三角形． 【变式训练2】如图1，矩形中，，，为上一点，为延长线上一点，且．点从点出发，沿方向以的速度向运动，连结、， 交于点．设点运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图象如图2所示． （1）的长是 ； （2）当，时，求的值； （3）如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点，连结，当为何值时，四边形为菱形？ 【变式训练3】已知：在中，，，于点，点是边的中点，动点在线段上，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，与交于点． （1）如图1，当点与点重合时，线段的长为______； （2）如图2，当点与，两点均不重合时， ①求证：； ②问：是否存在点，使以，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由， 类型三、最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动，作于点G，设运动的时间为t秒，则AG的最大值是 ． 【变式训练1】如图，△ABC中AB=AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为 ． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在第一象限内，，点E是线段上的一个动点，连接，将射线绕点E顺时针旋转交于点F，当最短时点F的坐标是 ． 【变式训练3】在中，，点D是内一动点，且满足，则的最小值 ．的最小值 课后作业 1．如图，矩形中，，，