专题08 一元二次方程应用的四种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题08 一元二次方程应用的四种考法 类型一、销售利润问题 例．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【变式训练1】某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． (1)求出y与x的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【变式训练2】某服装店以每件30元的价格购进一批恤，如果以每件40元的价格出售，那么一个月内能售出300件，根据以往的销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设这种恤的销售单价提高元． (1)该服装店希望一个月内销售这种恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，则这种恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价提高多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式训练3】嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为元/千克时，每天可销售千克． 每千克每涨价元，每天少销售5千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售千克的青菜，则获利多少元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利元，则青菜的售价为多少元/千克？ 类型二、几何图形运动问题 例．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．    (1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接． ①当为等腰三角形时，求t的值； ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)为何值时，？为什么？ (2)当cm时，求t的值． 【变式训练2】如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，． (1)用含t的式子表示线段的长：__________；__________． (2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为？ (3)当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由． 【变式训练3】如图，为矩形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点Q以的速度向移动． (1)两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 类型三、工程问题 例．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值． 【变式训练