专题05 最短路径的三种考法-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题05 最短路径的三种考法 类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题） 例．在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）． （1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD． ①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD； ②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值． 【变式训练1】如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）． （1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD． ①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD； ②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例1．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 【变式训练1】如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    【变式训练2】如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的最小值为（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式训练4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是 . 类型三、最短路径问题的实际应用 例1.如图1，直线表示一条河的两岸，且现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄经桥过河到村庄现在由小明、小红两位同学在图2设计两种： 小明：作，交于点，点．在处建桥．路径是． 小红：作，交于点，点；把平移至BE，连AE，交于，作于．在处建桥．路径是． （1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由． （2）假设新桥就按小红的设计在处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离． 例2．如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【变式训练】阅读下列材料，解决提出的问题： 最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求． 如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C