2.5.1 直线与圆的位置关系（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.5.1 直线与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的位置关系 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= , 由 消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2     1     0     几何法  d<r     d=r     d>r     代数法 Δ>0      Δ=0      Δ<0     知识点二、圆的切线 1.若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线; 2.若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点; 3.若点在圆内,则过此点不能作圆的切线. 4.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法 (1)若点P在圆上,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜率为- ;若 斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0. (2)若点P在圆外,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径r,解出k即 可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线). 5.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论 (1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2; (2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2; (3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D· +E·+F=0. 知识点三、圆的弦长的方法 1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出,则直接利用两点间的距离公式求解. 2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长公式:|AB|=. (3)几何法:圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长l三者之间的关系为r2=d2+,即弦长l= 知识点四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法 1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关 知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有: ①关于x、y的一次分式形式常转化为直线的斜率; ②关于x、y的一次式常转化为直线的截距; ③关于x、y的二次式常转化为两点间的距离等. 2.转化成函数解析式,利用函数的性质解决. 3.利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设 (θ为参数),代入目 标函数,利用三角函数知识求最大(小)值. 重难点题型1 直线与圆的位置关系 例1、（1）、（2023春·四川成都·高二成都七中校考期末）圆：与直线：的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断. 【详解】圆：的圆心为，半径， 直线：即，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A （2）、（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）“”是“直线与圆相离”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和的关系，即可判断出答案. 【详解】将配方，即， 表示圆需满足， 所以或，其圆心为，半径为， 因为直线与圆相离， 故圆心到直线的距离，解得， 结合或可得或， （） 则成立推不出直线与圆相离； 反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件， 故选：B 【变式训练1-1】、（2023秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考期末）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】由圆的一般方程可求得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离小于半径，由此可得结论. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相交. 故答案为：相交. 【变式训练1-2】、（2023春·山西长治·高二统考期末）已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由圆心到直线的距离为，然后求解的范围. 【详解】直线与圆有公共点等价于圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 例2、（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 【答案】(1