7.3.2 离散型随机变量的方差-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册人教A版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #7.32 离散型随机变量的方差 学业标准 素养目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差 1,通过离散型随机变量方差概念的学习，培 及标准差的概念，掌握方差的性质.（重点） 养数学抽象等核心素养 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能 2.通过随机变量方差的应用，提升数学运算、 解决一些实际问题.（难点） 数学建模等核心素养。 /课前案必备知识·自主学习 /通数材·理新知·泰养初成 [教材梳理] 导学离散型随机变量的方差 间题甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分 别为X和Y,X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P 610 110 310 0 1 2 510 310 210 (1)试求ECX),E() [提示]E)=0×610+1×110+2×310=710,E()=0×510+1×310+2×210=710 (2)能否由E)与E()的值比较两名工人技术水平的高低？ [提示]不能，因为E的=E() (3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ [提示]方差. ©结论形成 1.离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 2 P P Pn 称D0=一EQ)2p+(-EXO)2·2+…+(cm-EC)2p=∑，-=r(x:一E)P:为随机 变量X的方差，有时也记为')，并称DCX)为随机变量X的标准差，记为X) (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的 偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中： ·独家授权侵权必究◆ 亨学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 2.离散型随机变量的方差的性质：D(aX+b)=aD道， 基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.() (2)若a是常数，则D(a)=0.() (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.() (4)若a,b为常数，则D(am十b)=aD(x).() 答案(1)×(2)√(3)√(4)× 2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分集数据，计算出样本均值EX甲)=E 《z),方差分别为DX甲)=11，DX乙)=3.4.由此可以估计() A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分藥整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分藥整齐程度不能比较 解析DX甲)>DXz),所以乙种水稻比甲种水稻分集整齐， 答案B 3.(多选题)己知随机变量X的分布列为 13 16 则下列式子正确的是( A.E)=-13 B.D0=2327 C.PX=0)=13 D.PX≥0)=12 解析由分布列可知，E)=(一1)×12+0×13+1×16=一13，故A正确：D0= als4aco1(-1+13)2×12+avs4 alcol(0+f132×13+avs4 alcol(1+f13)2×16= 59,故B不正确，CD显然正确： 答案ACD 4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E0=0,D)=1,则a= b 2 P 0 6 112 解析由题意知a+b+c=11121613)=1,解得a=S121414). 答案51214 ◆独家授权侵权必究· 令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课堂案关键能力·互动探究 /见规律·格方法·素养提丹 题型一求离散型随机变量的方差 例血(1)设随机变量X的分布列为 1 3 4 P 14 13 16 14 则D)等于( A.2912 B.121144 C.179144 D.1712 [解析由题意知，E0=1×14+2×13+3×16+4×14=2912, 故D)=as4 alcol(1- f2912)2×14+as4 alcoll2-f2912)2×13+1 avs4 al co.13-2912)2×16+avs4alco1(4-2912)2×14=179144 [答案]C 规律方法 求离散型随机变量X的方差的步骤 ()理解X的意义，写出X可能取的全部值： (②)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E): (④根据公式计算方差. [触类旁通酊 1.已知随机变量X的分布列为 X 0 P 15 310 且EX)=1.1,则DX) 解析由随机变量分布列的性质可得p=1一15一310=12.又E)=0×15+1×12十x× 3