第六章 3.2 离散型随机变量的方差-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.2离散型随机变量的方差 学业标准 素养目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概 1,通过学习方差和标准差的概念，培养数学 念 抽象等核心素养 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能 2.通过方差的应用，提升数学运算、数据分 解决一些实际问题， 析等核心素养。 /课前案必备知识·自主学习 /通数材·理新知·泰养初成 [教材梳理] 导学离散型随机变量的方差、标准差 间题从甲、乙两名射击运动员中选出一位参加比赛，这两名运动员射击环数的分布 列如下： 甲运动员的环数X的分布列： X 5 6 P 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙运动员的环数X2的分布列： Y2 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 (1)EX1,EX2各为何值？ (②)是否能根据X1和Xz的均值来决定选派哪位运动员参赛？ (3)除平均中靶的环数外，还有其他刻画两名运动员射击特点的指标吗？ [提示](1)EX1=8,EX2=8. (2)不能 (3)可以用两名运动员射击成绩的稳定性来刻画两名运动员的射击成绩， ◎结论形成 离散型随机变量的方差、标准差 1.(1)定义 若离散型随机变量X的分布列为： X X2 Xn P P ” Pr 则c一)2描述了x=1,2,·,n)相对于均值EX的偏离程度，而DX= EX-E2=_三c一E兜_为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其 均值EX的平均偏离程度·我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根DX为随 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教数辅·正版资源 b.zxxk.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 机变量X的标准差，记作， (2)意义 随机变量的方差DX和标准差σx都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度· 方差（标准差）越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差（标准差）越大， 则随机变量的取值越分散· 2.离散型随机变量方差的性质 设a,b为常数，则D(aX+b)=a2DX [基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）》 (1)离散型随机变量的期望E反映了取值的概率的平均值。() (2)离散型随机变量的方差D反映了取值的平均水平.() (3)离散型随机变量的方差D反映了取值的波动水平.() (4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定，() 答案(1)×(2)×(3)√(4× 2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分藥数据，计算出样本方差分别为DX 甲=11，DXz=3.4.由此可以估计() A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分襄整齐 C,甲、乙两种水稻分藥整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分藥整齐程度不能比较 解析因为D甲>DX乙，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 答案B 3.已知随机变量，D5=19,则的标准差为 解析的标准羞D5=I9)=13 答案13 4.若D=1,则D(-D)= 解析D-D)=D-1)=D)=1. 答案 1 /课堂案关键能力·互动探究 /型规律·悟方法·率养婴开 题型一求离散型随机变量的方差 例山(1)已知随机变量的分布列为： 3 P0.5 2 独家授权侵权必究 夏学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 若E=158,则D=() A.3364 B.5564 C.732 D.932 (2)已知X的分布列如下： 12 14 ①求2的分布列： ②计算X的方差： ③若Y=4X十3，求Y的均值和方差. (1)[解析]由分布列的性质得x十y=0.5,又E=158,所以2x+3y=118,解得x=18, y=38.所以D=avs4 alcol(1-f158)2×12+avs4 alcol(2-fr158)2×18+1 as41al八co1(3-f158)2×38=5564 [答案]B (2解析]①由分布列的性质，知12十14十a=1,故a=14,从而2的分布列为： 2 0 1 P 14 34 ②解法一由(1)知a=14,所以X的均值EX=(-1)×12+0×14+1×14=-14 故X的方差DX=ials4 alcol(-1+14)2×12+lavs4 alcol0+f142×I4+ avs4 alco11+14)2×14=1116 解法二由①知a=14,所以X的均值EX=(一1)×12十0×14+1×14=一14，X2的均 值为E2=0×14+1×34=34,所以X的方差DX=EX2-(EX2=1116 ③因为=4X+3. 所以EY=4EX+3=2,DY=4DX=11. [规律方法] 1.求离散型随机变量X的方