第五章 计数原理 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 # 章末整合提升 1工知识网络 排列的概念 排列数公式 排列广 排列的简单应用 两个计 数原理 组合的概念 组合数公式 组合H组合数的性质 综合应用) 组合的简单应用 二项式 二项式系数的性质 二项展 定理 应用 开式 通项公式 2深化提升 (一)两个计数原理的简单应用 1.使用两个原理解决问题的思路 (1)选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事采取的方式而定，确定是分类 还是分步，要抓住两个原理的本质， (②)分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的 分类标准，然后在这个标准下进行分类：其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必 须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法 (③)分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标 准：其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这个步骤后，这件事才 算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理， 2,使用两个原理解决问题时应注意的问题 (1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题， 我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰。 (2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步. 典题)有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成 ◆独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.7队 B.8队 C.15队 D.63队 (2)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一 种颜色，则不同的涂法共有() A.400种 B.460种 C.480种 D.496种 [解析(1)由分步乘法计数原理，知共可组成7×9=63队. (2)从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D,A同色1种，D,A不同色3种， 不同涂法有6×5×4×(1+3)=480种，故选C [答案](1)D(2)C (二)排列组合应用题（题点多探多维探究） 解含有约東条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件 1.类与类之间要互斥（保证不重复）： 2.总数要完备（保证不遗漏） 也就是要确定一个合理的分类标准，应按事件发生的连贯过程进行分步，分步时必须做 到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性， 角度1直接法（特殊优先、一般在后） 解含有特殊元素、特殊位置的排列组合问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊 位置的元素，再考虑其他元素与其他位置，也就是在解题过程中的一种主次思想 典题=山分配5人完成5种不同的工作，如果甲不能完成第一种工作，乙不能完成 第二种工作，那么共有多少种分配方法？ [解析先满足特殊元素，即甲和乙分别不能完成第一和第二种工作，分三种情况： 第一类：甲、乙分别完成后三种工作中的一种，有AA3种： 第二类：甲完成第二种工作，乙完成后三种工作中的一种，有C心A3种： 第三类：乙完成第一种工作，甲完成后四种工作中的一种，有CA3种， 由分类加法计算原理知，不同的分配方法共有A2A3+C3A3+C4A3=78种. 角度2捆绑法 “捆”的策略就是对元素进行整体处理的形象化描述，体现数学的整体思想.对于以“某 些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体， 再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱， ·独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 典题2-8老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成 一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种。 [解析]要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法，把男生和女生分 别看成一个大元素进行处理.男生站在一起看成一个大元素，女生站在一起看成一个大元素， 老师不站在两端，共有A2种排列，但4名女生、5名男生本身还有排列顺序要求所以共有 A2·A4·A5=5760种站队方式. [答案]5760 角度3插空法 “插空”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段，在具体操 作时，先对普通元素排列，然后将这些特殊元素“插入”普通元素的空隙之中，从而保证它 们互不相邻 典题②=易一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另 一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？ [解析]把两个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，则是用四个人 把两个元素隔开的