第五章 3.1 组合 3.2 组合数及其性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

§4　二项式定理 4．1　二项式定理的推导 4．2　二项式系数的性质 学业标准 素养目标 1．能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．掌握二项式定理、通项公式和二项式系数的性质．(重点) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点) 1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过二项式定理的有关应用，提升数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　二项式定理 　我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式． [提示]　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 　你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ [提示]　因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b).由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C种，式子为Ca3b，若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C种，式子为Ca2b2. ◎结论形成 二项式定理 (a＋b)n＝__Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn__ 简记为(a＋b)n＝ 二项展开式 公式__右边的式子__ 二项式系数 各项的系数__C(k＝0，1，…，n)__ 二项式通项 Tk＋1＝__Can－kbk__ 导学2　二项式系数的性质 　观察二项式系数表(杨辉三角) (a＋b)1……　　　　　　1　1 (a＋b)2……　　　　　1　2　1 (a＋b)3……　　　　1　3　3　1 (a＋b)4……　　　1　4　6　4　1 (a＋b)5……　　1　5　10　10　5　1 (a＋b)6……　1　6　15　20　15　6　1 …… 探究以下问题： (1)杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？ (2)表中每行两端都是1，而且除1以外的每个数与它“肩上”的两个数之和有什么关系？ (3)二项展开式中各项的二项式系数之和如何求？ [提示]　(1)杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn. (2)相等 (3)在二项式中，令a＝b＝1，可得(1＋1)n＝2n＝C＋C＋C＋…＋C，即2n＝C＋C＋C＋…＋C. ◎结论形成 二项式系数的性质 (1)每行除两端的1以外的每一个数都__等于__它“肩上”的两个数之和即C＝__C＋C__． (2)所有二项式系数的和等于__2n__，即__C＋C＋C＋…＋C__＝2n. [拓展]　二项式系数还有以下常用性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C＝C). (2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项，相等，同时取得最大值． (3)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．(x－)10展开式中x6项的二项式系数为(　　) A．－C　　　　　　　 B．C C．－4C D．4C 解析　含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C. 答案　B 3．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是____________． 解析　x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果， ∴其系数为C＋C(－1)＝207. 答案　207 4.的展开式的第3项的系数为________；常数项为________． 解析　T3＝C(x3)3＝C·x5，所以第3项的系数为C·＝. 由二项式通项得Tk＋1＝C(x3)5－k＝·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·＝. 答案　　 题型一　二项式中的展开式问题 　(1)求的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). [解析]　(1)解法一　＝C()4－C()3·＋C()2·－C·＋C＝x2－2x＋－＋. 解法二　＝＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋－＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－C＝[(x－1)＋1]5－1