第二章 圆锥曲线 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 章末整合提升 1知识网络 定义 椭国 标准方程 几何性质 图形 定义 双曲线 标准方程 儿何性质 图形 综合应用 定义 抛物线 标准方超 儿何性质 图形 相交 图推曲线的弦长 直线与@回雠曲 弦中点可题 相切 线的位置关系 相离 2深化提升 (一)圆锥曲线的定义、方程和性质 1.圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对干圆锥曲线的有关问题.要有运 用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义“是一种重要的解题策略. 2.应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来， 典题(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2.F1,F2为左、右焦点，P为双 曲线上一点，且LF1PF2=60°，△PF1F2的面积为123.则双曲线的标准方程为 (2)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在-点M.使得∠F1Mf2=90(F1,F2分别为 椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围为 [解析](1)如图所示，设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0.b>0). e=ca=2.∴c=2a. 由双曲线的定义，得 \a\vs4\al\co1(/PF1/-/PF2/)=2a=c. 在△PF1F2中，由余弦定理.得 IFF212=IPF12+IPF212-2IPFlIPF2lcos 60=(IPFl-IPF21)2+2PFlIPF2I(1-cos ·独家授权侵权必究事 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 60). 即4c2=c2+|PF1lPF2l.@ 又5am5=123. ∴.121PF1llPF2lsin60°=123. 即IPFlPF2l=48.② 由①②，得c2=16.c=4 则a=2,b2=c2-a2=12. ∴所求的双曲线方程为X24一y212=1 (2)解法一设Mxo,%).则xo<a. F(-c,0).F2(c,0. ÷=(-c-xo.-o.=(c-x.-yo). yLF1Mf2=90,→.→=0. ∴x20+y20=c2.又y20=b2-b2a2x20 ∴x20+y20=b2+c2a2x20∈[b.a2].即c2∈[b2.a2]. ∴.c2≥b2=a2-c2..c2a2≥12.e≥2)2 故椭圆的离心率e的取值范围是1f1r(2)2),1以 解法二设点M的坐标是(Xo,%, 则202020201f(xyb2X+y=c2.消去yo,得x20=a2(c2-b2)c2. 0≤x20<a2.∴\fa2(c2-b2)c2a2(c2-b2)c2)<a2.② 由①得c2≥b2.即c2≥a2-c2, ∴.a2≤2c2,∴e2=c2a2≥12. 又0<e<1.∴.e∈1f1r(2)2).1) 由②得c2-b2<c2,此式恒成立 综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是1f1r(2)2).1), 解法三设椭圆与y轴的一个交点为P. ,椭圆上存在一点M.使∠F1MF2=90, ∴LF1PF2≥90°.则c≥b ∴.c2≥b2=a2-c2, ∴.c2a2≥12.∴.e≥2)2.又e<1. 椭圆的离心率e的取值范围为1f1r(22).1). [答案](1)x24-y212=1(2)1fr(2)2).1) (二)直线与圆锥曲线的位置关系 讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立.组成方程组 消去一个未知数.转化为关干X(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出X1十2，X12 ·独家授权侵权必究 享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (或M十y2,y2)进而解决了与“距离”“中点“"等有关的问题 典题2已知椭圆的一个顶点为AM0.一1).焦点在x轴上，若右焦点到直线X一y+ 22=0的距离为3. (1)求椭圆的方程： (2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交干不同的两点M.N.当|AM=|AN时.求m 的取值范围 [解析](1)依题意可设椭圆方程为 x2a2+y2=1(a>1).则右焦点F(a2-1,0, 由题设，知a2-1)+21r(2/\r(2)=3. 解得a2=3.故所求椭圆的方程为x23+y2=1 (2)设点P为弦MN的中点，由y=kx+m.x23)+y2=1. 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0 由干直线与椭圆有两个交点 所以△>0.即m2<3k2+1. 所以Xp=xM+xN2=-3mk3k2+1, 从而yp=kxp+m=m3k2+1. 所以kap=yP+1xP=-m+3k2+13mk, 又AM=|ANM,所以AP⊥MN. 则-m+3k2+13mk=-1k.即2m=3k2