第二章 教考衔接(2) 离心率的计算-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 >教考衔接(2)— 离心率的计算 1.离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有： ①通过已知条件列出方程组，解出a,c的值： ②由a,b的关系求离心率e=b2a2(椭圆)或e=b2a2(双曲线)： ③由已知条件得关于a,c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程： ④通过特殊值或特殊位置求离心率： ⑤在焦点三角形内求离心率. 2.求离心率范围的方法 一是通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围， 二是利用焦半径的范围得到a与c的不等式，从而求离心率的范围，椭圆的焦半径PF ∈[a一c,a十c小，双曲线中，当P与焦点同侧时PF≥c一a,异侧时PF≥c+a 一、借助焦点三角形计算离心率 典题()已知F、F2分别是椭圆x2a2+2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，A、B是以 坐标原点为圆心，以OF为半径的圆与该椭圆在y轴左侧的两个交点，且△F4B是等边三角 形，则该椭圆的离心率为() A.3)2 B.3-1 C.3+1 D.33 (2)设F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F2作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P,PF=6OP列，O为坐标原点，则双曲线E的离心率为) A.5 B.2 C.2 D.3 [解析](1)由题意可知，作出图形如图所示， 4 因为F1F2是圈O的直径，所以∠F4F2=90°， 即FM⊥F4, 又因为△F4B是等边三角形，FF⊥AB, 所以∠AFF1=12∠AF2B=30°， 在Rt△FAF3中，FF=2c, ·独家授权侵权必究。 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以F4=12FF=c,FA=3)2FF2=3C, 根据椭圆的定义，得 2a=F4+F24=(1+3c, 解得a=3)2c, 所以椭圆的离心率为e=ca=c1十(32=3-1. (2)点Fz(c,O)到渐近线y=ba的距离PF2=alws4 alcol(f(bca-01+bilc\(rc)=b 6>0, 而OF=c,所以在Rt△OPF2中，由勾股定理得OP=c2一b2=a, 所以PF=6OP=6a,在Rt△OPF3中，cos∠PFO=PF2OF2=bc, 在△FFP中， cos ZPFO=PF2 2+FIF2 2-PF122 PF2FIF2 =b2+4c2-6a22b2c, 所以bc=b2+4c2-6a24bc→3b2=4c2-6a2, 则有3(c2-a2)=4c2-6a2, 解得ca=3(负值舍去)，即e=3,故选D [答案](1)B(2)D 二、利用齐次方程计算离心率 典题图(Q)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个项点都 在E上，AB,CD的中点为E的两个焦点，且2MB=3BC,则E的离心率是 (2)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点， 且AB⊥BF,则椭圆的离心率为 [解析](1)如图，由题意知4B=2b2a,BC=2c 又24B=3到BC1,.2·2b2a=3×2c,即2b2=3ac,.2(c2-a2)=3ac,两边同除以a2并 整理得2e2-3e一2=0，解得e=2(负值舍去) (2)在△ABF中，AB=a2+b2,BF=a,4F=a十c 由AB⊥BF得AB2+BF2=M2, 将b2=a2-c2代入，得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得e=5)2 因为0<e<1,所以e=5)-12 [答案](1)2(2)5)-12 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 三、求离心率的取值范围 典题影(Q)已知椭圆x22+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为i,乃，以FF为直径 的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为() A.lawvs4lalcol(r(2)2),1) B.f0r(2)2,10 C.alvs4allcol(f(12),1) D.f12,1) (2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F2(c,0), 若双曲线右支上存在点P使得asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则离心率的取值范围为() A.{2+1,+∞) B.(1,2+1] C.(1,2+1) D.(2+1,+∞) [解析](1)因为以FF2为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b<c,即b2<c2,a2-c2 <c2,a2<2c2,所以e2>12,即e>2)2,又因为0<e<1,所以椭圆离心率的取值范围为