第二章 2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时双曲线方程及性质的应用 /课堂案关键能力·互动探究 /重规律·悟方法·至券提开 题型一双曲线中的焦点三角形（一题多变） 例山若F1,F2是双曲线x29一216=1的两个焦点.如图，若P是双曲线左支上的点， 且PF·PF=32,则△FPF2的面积为 [解析双曲线的标准方程为x29一y216=1, 故a=3,b=4,c=a2+b2=5 将PF-PFl=2a=6两边平方得PF2+PF2-2PF1·PF=36, 则PF12+PFz2=36+2PF1·PF=36+2×32=100 在△FPF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=PFI2+PF22-IF1F2221 PFI-PF2= 100-1002×32=0,且0°<∠FPF2<180°，所以∠FP2=90°，故S△m:=12 PFl·PF=12×32=16. [答案]16 [母题变式] 将本例中的条件“1PF1·PF=32”改为“∠FPF2=60°”，求△FPF2的面积 解析由x29-y216=1得a=3,b=4,c=5 由双曲线的定义和余弦定理得PF一PF1=6, IFF22=PF2+PF22-2 PFPF2·cos60°， 所以102=(PF-PF2D2+PF·PF,所以PF·PF=64, 所以SaRm,=12PF·PF·sm∠FPF2=12×64×32=163 [规律方法] 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)根据双曲线的定义求出as4 alco1(PP1|一PF2V)=2a (②)利用余弦定理表示出PF,PF,FF之间满足的关系式。 (3)通过配方，利用整体的思想求出PF·PF2的值 (4利用公式Sam,R=12XPF·PF·sin∠F,PF,求得面积。 (⑤双曲线焦点三角形面积常用S△四，5=b202 (⑥通径公式2b2a. [触类旁通] ◆独家授权侵权必究。 令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.设F,F是双曲线C:x29-y24=1的两个焦点，P为双曲线C上一点，若△PFF2 是直角三角形，则△PFF2的面积为 解析①当∠FPF2=90”时，：双曲线C:x29-y24=1,.a=3,b=2 根据c=a2+b2=13,不妨设PF1l>PF2, ∴.PF1-PF=2a=6,FF=2c=213, PF2+PE2=(PF-PE2)2+2PF PE2, 即FF22=(PF-PFD2+2PFl·PF, 故(213)2=62+2PF·PF2, .PFl·PF=8, ∴.S=12PFl·PF=4. ②当∠PFF2=90°时，根据双曲线通径公式可得PF1=b2a=43, ∴.S=12PFl·F1F2=12×43×213=13)3 同理，当∠PFF1=90°时，S=13)3 综上所述，△PF,F2的面积为4或13)3 答案4或133 题型二共渐近线的双曲线方程的设法 例(1)求与双曲线24-x23=1有共同的渐近线，且经过点M3,一2)的双曲线的标 准方程； (2)求渐近线方程为y=±2)2x,且经过点A(4,2)的双曲线的标准方程. [解析](1)设所求双曲线的方程为y24一x23=(1≠0) ,点M3,一2)在双曲线上， ∴.44-93=1，即1=-2 .双曲线的标准方程为x26-y28=1. (2)由双曲线的渐近线方程为y=±2)2x,可设双曲线方程为x22一y2=(A≠0)， ,A(4,2)在双曲线上，∴.422-22=1，即1=4 .所求双曲线的标准方程为x28-y24=1. [素养聚焦】本例通过考查共渐近线的双曲线方程的求法和应用，提升学生逻辑推理和 数学运算核心素养。 [规律方法 (1)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2一y2b2 =11≠0). (2)渐近线方程为±by=0的双曲线方程可设为ax2-by2=(≠0) [触类旁通] 独家授权侵权必究· 令学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线24-x22=1有相同的渐近线， 且经过点M2,-2) (1)求双曲线C的方程 (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离. 解析(1)设双曲线C:y24一x22=,把点M(2,一2)代入方程得，A=一12， ∴.双曲线C的方程为x2一y22=1. (2)由(1)知双曲线C:x2一y22=1, .a=1,b=2,c=3, ∴.实轴长为2a=2,离心率e=ca=3,设双曲线C的一个焦点为(-3,0)，一条渐近线 方程为y=2x,.d=3)×22十1)