第二章 1.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时 椭圆的几何性质的综合应用 /课堂案关键能力·互动探究 /重规律·悟方法·至券提开 题型一椭圆中的最值问题 例(1)若椭圆C:x24+v23=1,则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别 为() A.3,1 B.2+3,2-3 C.2,1 D.3+1,3-1 (2)椭圆C:x225+y216=1,F1,F2是左、右焦点，点Q(2,2),点P为椭圆上一动点， 则PF+PQ的最大值为 ,最小值为 解析(1)由题意知a=2,b=3,所以c=4-3=1,所以距离的最大值为a十c=3,距离 的最小值为a一c=1. (2)椭圆C:x225+y216=1, .a=5,b=4,c=3,.F(-3,0),F3(3,0) 如图所示，点Q在椭圆内部， 点P为椭圆上的点，则PF+PF=2a=10,∴.PF=10-PF, ,PFl+Pg=PQ|-PF+10,又as4 allco1APg-lPF2)≤lgF3=5,.-5≤ PO-PF≤5，即PF+PQ∈[10-5,10+5] 答案(1)A(2)10+510-5 [规律方法制 求解椭圆最值问题的基本方法 ()几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解 决.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及 对称知识求解。 (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再 根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值，常用方法有配方法、判别式法、基 本不等式法及函数的单调性法等， [触类旁通] 1.已知椭圆y2a2+x2=1(a>1)的离心率e=5)5,P为椭圆上的一个动点，若定点B(-1, O),则PB的最大值为() ·独家授权侵权必究· 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 A.32 B.2 C.52 D.3 解析由题意可得a2-1a2=aws4acol(f2r(5)5)2,据此可得a2=5,所以椭圆方程 为y25十x2=1,设椭圆上点的坐标为Pc,),则y2=5(1一x2),故PB=(x十1)2十y2=(x +1)2+5(1-x2)=-42+2x+6,当x=14时，PBx=52 答案C 题型二椭圆上的点到直线的距离问题 例2已知椭圆x225十y29=1,直线1：4x一5y十40=0.求椭圆上的点到直线1的最小距 离 [解析如图，由直线1的方程与椭圆的方程可以知道，直线1与椭圆不相交.设直线m 平行于直线1且与椭圆相切，则直线m的方程可以设成4r一5y十k=0.① 由方程组4x一5y+k=0,x2y29)=1 消去y,得25x2+8a+k2-225=0.② 令方程②的根的判别式d=0, 得642-4×25×(2-225)=0.③ 解方程③得%=25或2=-25 由图可知，当k=25时，直线m与椭圆的切点到直线1的距离最近，此时直线m的方程 为4x-5y+25=0, 直线m与直线1间的距离d=|40-2542十（一5）2)=41)41，即为切点到直线1的距 离， 所以，所求最小距离是41)41 [规律方法] 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离转化为平行线间的距离，即己知直线与和它 平行且与椭圆相切的直线间的距离.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消 去或x)得到关于x(或)的一元二次方程，利用直线与椭圆相切台△=0解决问题 [触类旁通酊 2.在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C:x216十y29=1上运动，则点P到直线x一y一5 =0的距离的最大值为 ◆独家授权侵权必究 亨学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析设直线x一y十m=0与椭圆x216十y29=1相切， 联立消去y,得25x2+32x+16m2-144=0 .4=(32m)2-4×25×(16m2-144)=0, 解得m=5或-5 .与直线x一y一5=0平行且与椭圆相切的直线方程为x一45=0， 其中与直线x-y-5=0距离较远的是x-y+5=0,且距离为d=|一5-512+(-1) 2)=10lr(2)=52, .P到直线x一y一5=0的最大距离为52 答案52 题型三椭圆的实际应用问题 例酚在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图 可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40c,短轴长 为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为 cm [解析们因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以c大a大=c小a 小，即2大2大2大a-ba)=2小2