第三章 4.3 第1课时 空间中的角-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(课时作业)

享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 /课后案学业评价·层级训练 /务基·提技能·素养达成 [必备知识基础巩固] 1.若平面a的一个法向量n=(2,1,1),直线1的一个方向向量为a=(1,2,3),则1 与α所成角的正弦值为() A.17)6 B.21)6 C.-21)6 D.213 解析cos〈a,n〉=an alln=1×2十2×1+3×1r1+4+)ir4+1+1)=2+2+3 14×6)=2)6所以1与平面a所成角的正弦值为21)6 答案B 2.(多选)已知二面角a-1B中，平面a的一个法向量为1=avs4al小colf0r(312),平 面的一个法向量为n2=as4aco10,12),r(2小，则二面角a--的平面角满足() A.余弦值为3)2 B.正弦值为12 C.大小为60 D,大小为30°或150 解析设所求二面角的平面角的大小为0，则lcos9|=n1n2lnl川n2=3)2,所以0=30 。或150°，故D正确，又因为sin30°=sn150°=12，故B也正角.故选B,D 答案BD 3.在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所 成角的余弦值为() A13 B.12 C.23 D.603 解折设正四面体被长为1，→=12+。 +=12_+,:=2,=2 又.=-12， cos.)=12r6r062=-23 ,AE与CF所成角的余弦值为23 答案C 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 4.正方体ABCD-AB1CD1中，直线BC与平面A1BD所成角的正弦值是 解析如图，以DA,DC,DD1分别为x轴、y抽、z轴建立空间直角坐标系，取正方 体的棱长为1，则41,0,0)，B1,1,0),C1(0,1,1),易证是平面ABD的一个法向 量 →=-1,1,0=(-1,0,0 cos〈，)=1+1r)xr2=63 所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为6)3 答案6)3 5.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的平面角的余弦值为 解析取BC中点O,连接AO,DO.建立如图所示坐标系， 4 设BC=1,则Aaws4 alcol0,0,f3)2), Blalvs4lallcol(0,-(12),0),Dlalvs4alicol(r(3)2),0,0) =alvsdalcol0.0.V7r(3)2),=alvs4aheol.V(Ir32). =alvs4alcol(f(r(312).O. 由于=las4alco1(0,0,0r3)2》为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一 个法向量n=1,-3,1),c0s《n,)=55二面角4BD.C的平面角的余孩值为 55. ◆独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案55 6.(2021新高考全国卷I)如图，在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD为正方形，AD=2, OC=3,04=0D=5. (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD: (2)求二面角B-QD4的余弦值. (1)证明因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD.因为CD=2,QD=5,QC=3,所 以CD2+OD2=OC,所以CD⊥QD.又ADnOD=D,ADc平而OAD,ODc平面OAD,所 以CD⊥平面OAD,因为CDC平面ABCD,所以平面QAD⊥平面ABCD Q (②)解析以A为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图的空间 直角坐标系Ayz,则B2,0,0),C2,2,0,D0,2,0),Q0,1,2),则=(-2,2， 0),=(-2,1,2) 设平面BDQ的法向量为m=在，y,), 则m-oBD一→)BQ一)=0，即一2x十2y=0,-2x十y十2z=0.) 令z=1,可得m=(2,2,1) 由(1)可知=(2,0,0)是平面ADQ的一个法向量， 则cos(m,)=DC-)DC-)=45x2=23 故二面角B-QD4的余弦值为23. [关键能力综合提升] 7.如图，在正方体ABEF-DCEF中，M,N分别为AC,BF的中点，则平面MNA与平 面B的夹角的余弦值为() 独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A.-13 B.13 C.-2)3 D.23 解析设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系B-xz,则aws4 alcol(f(112),aws4 alcol0fI12),0,A (1,0,0)