第二章 2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(课时作业)

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 /课后案学业评价·层级训练 /务基·提技能·素养达成 [必备知识基础巩固] 1.点M为双曲线22-x2=1上任意一点，点O是坐标原点，则O4的最小值是() A.1 B.2 C.2 D.22 解析设Mx,y),OM=x2十y2,:点M在双曲线22-x2=1上，.x2=y22-1, ≥2，.O4=y22)-1+y2=32y2-1≥2 答案B 2.若双曲线与椭圆x216十y264=1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y=一x,则 双曲线的方程为( ) A.y2-x2=96 B.y2-x2=160 C.y2-x2=80 D.y2-x2=24 解析设双曲线方程为x2一y2=从元≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0， ±43)，所以1<0，且一21=(43)2，得1=-24故选D 答案D 3.设F1,F2分别是双曲线x2一y224=1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3 PF=4PF,则△PFE2的面积为() A.42 B.83 C.24 D.48 解析由题意得PF1一PF2=2,3PF1川=4PF21,) 解得1PF1川=8，PF2=6) 又由FF=10可得△PFE2是直角三角形，则S△m,A-12PFPP=24 答案C 4.已知A(一3,0)，B是圆x2十0y-4)2=1上的点，点P在双曲线x24-y25=1的右支 上，则PA+PB的最小值为() A.9 B.25+4 C.8 D.7 解析如图所示，设圆心为C, x2+0-4)=1 ·独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 双曲线右焦点为A'(3,0),且PB≥PC一1，PA=PA1+4, 所以PB十PA≥PC十PA1十3≥A'C十3=8，当且仅当A',B,C三点共线时取得等号. 答案C 5.焦点为(0,6，且与双曲线x22一y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是 解析由x22一y2=1,得双曲线的渐近线方程为y=±2)2x 设所求双曲线方程为x22-y2=1<0), 所以x221-y21=1. 所以-1一21=36，所以元=一12故双曲线方程为y212-x224=1. 答案212-x224=1 6.已知双曲线x24一y2b2=1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的 距离为 解析由双曲线方程知a=2,又e=ca=2,所以c=4,所以b=c2一a2=12=23.所以 双曲线的一条渐近线方程为y=br=3x,一个焦点为F(4,O).焦点F到渐近线y=3x的距离 d==23 答案23 7.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1,F2的坐标分别为(5,0)和（一5,0），点P 在双曲线上，且PF1⊥PF,△PFF2的面积为1，则双曲线的方程为 解析由PFIPF2=2,PF12+PF22=(2r(5)2=(PF1-PFz)2=16,即2a=4, 解得a=2, 又c=5,所以b=1, 故双曲线的方程为x24一y2=1. 答案x24-y2=1 8.求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分： (2)渐近线方程为2+3y=0,且两顶点间的距离是6. 解析(1)由两顶点间的距离是6，得2a=6, 即a=3 由两焦点所连线段被两顶，点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2一 a2=62-32=27 由于焦点所在的坐标轴不骑定，故所求双曲线的标准方程为x29一y227=1或y29一x227 =1. (2)设双曲线方程为42-9y2=1(1≠0. 即x2A4-y2A9=1(1≠0)，由题意得a=3 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当1>0时，4=9，入=36， 双曲线方程为x29一y24=1: 当1<0时，一9=9，入=一81， 双曲线方程为y29-x2814=1. 故所求双曲线方程为x29一y24=1或y29-x2814=1. [关键能力综合提升] 9.(多选)已知在等边三角形ABC中，D,E分别是CA,CB的中点，以A,B为焦点且 过点D,E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则下列关于，e2的关系式正确的是() A.e2+e1=2 B.e2-e1=2 C.ele2=2 D.e2e1>2 解析设△4BC的边长为2，由题意，可求得椭圆的离心率1=2r(3十1=3一1，双曲 线的离心率e2=23)-1=3+1,所以e2十e1=23,e12=2,e2-e1=2,e2e1=2+3>2, 故选BCD 答案BCD 10.设椭圆26十y22=1和双曲线x23-y2=1的