第二章 2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(课时作业)

学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com□ 您身边的互联网+教辅专家 /课后案学业评价·层级训练 /寿基确·提枝能·套养达成 [必备知识·基础吼固] 1.双曲线x24-y29=1渐近线方程是() A.y=±23X B.y=±49x C.y=±32x D.y=±94x 解析焦点在x轴上，a=2.b=3,渐近线方程为：y=±bax,即y=±32x. 答案C 2.已知双曲线E:x216-y2m2=1的离心率为54.则E的焦距为( ） A.4 B.5 C.8 D.10 解析双曲线E:x216-y2m2=1的离心率为54. 可得16+m2)4=54.可得m2=9,所以|ml=3.c=5.所以双曲线的焦距为10.故 选D 答案D 3.以双曲线x23一y2=1的焦点为顶点.离心率为3的双曲线的标准方程为() A.X232-y216=1 B.x216-y232=1 C.x28-y24=1 D.x24-y28=1 解析双曲线x23-y2=1的焦点在x轴上， 则焦点坐标为(2,0) 则新双曲线的顶点坐标为(2,0)，即=2， 离心率e=3..ca=3.得c=23, 则b2=c2-a2=12-4=8. 即新双曲线的标准方程为x24-y28=1,故选D. 答案D 4.(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0.b>0)的离心率为e,写出满 足条件“直线y=2x与C无公共点"的e的一个值 解析因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax,要使直线y=2X与C无公共点，则只 需要2>ba即可，由ba<2得c2-a2a2=b2a2<4,所以e2<5,解得1<e<5. 答案2（答案不唯-，只要1<e<5即可） 5.(2022·全国甲卷)若双曲线y2-×2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0 相切，则m=」 解析由圆心为(0.2)，半径为1的圆与直线x=my相切可得m=3)3. 答案3)3 6.双曲线与椭圆X216+y264=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=X,求双曲 线的标准方程和离心率。 解析由椭圆x216+y264=1,知c2=64-16=48.且焦点在y轴上. 幸独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 双曲线的一条渐近线为y=x, 设双曲线方程为y2a2-x2a2=1 又c2=2a2=48.∴a2=24. ∴所求双曲线的方程为y224-X224=1. 由a2=24.c2=48.得e2=c2a2=2.又e>0,.e=2. [关键能力综合提升] 7.(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C的两个焦点F1.F2,以C的实轴为直径的圆记为 D,过F1作D的切线与C交干M,N两点，且cos∠FNF2=35,则C的离心率为() A.5)2 B.32 C.13)2 D.17)2 解析不妨假设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0.b>0).F(-c.0).F2 (c,0)当两个交点M.N在双曲线两支上时.如图1所示.设过F1的直线与圆D切干点P. 连接OP,由题意知|OP=a,又OFl=c,所以F1P=b.过点F2作F2Q⊥FN,交F1W干 点Q.由中位线的性质，可得引F2Ql=21OP吲=2a,IPQ=b.因cos∠F1NF2=35,所以sinL F1NF2=45.故|NF2l=52a,1QN=32a.所以Nf1l=|F1Q1+|QN=2b+32a.由双曲线 的定义可知NF1l-NF2l=2a.所以2b+32a-52a=2a,所以2b=3a.两边平方得4b2 =9a2,即4(c2-a2)=9a2.整理得4c2=13a2.所以c2a2=134.故ca=13)2.即e= 13)2.当两个交点M,N都在双曲线的左支上时.如图2所示，同理可得|F2Q1=2引OP=2a. PQl=b.因为cos∠F1Nf2=35,所以sin LF1NF2=45,可得|NFzl=5a2.1NQI=3a2. 所以|NF1l=|NQ1-|QFl=3a2-2b,所以1NF2=|NF1l+2a=7a2-2b.又NFzl=5a2. Arc\ 所以7a2-2b=5a2.即a=2b.e=a)川sup12(2)=5)2.故选AC. Q O(D) 图1 图2 答案AC 8.(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1.() A.若m>n>0.则C是椭圆.其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆，其半径为n C.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±mnx D.若m=0,n>0.则C是两条直线 解析A选项中，若m>n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为x21m+y21n=1. 因为m>n>0,所以0<1m<1n,所以此曲线表示椭圆.且焦点在y轴上，所以A正确. 幸独家