2.2.1 第2课时 直线的方向向量与法向量-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教B版(教师用书)

夏学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #第2课时 直线的方向向量与法向量 课前案必备知识·自主学习 /通教材·理新如·聚养初成 [教材梳理] 导学1直线的方向向量 阿题如果1是空间中的一条直线，？是空间中的一个非零向量，若)是直线1的一个 方向向量，则满足什么条件？ [提示]表示)的有向线段所在的直线与1平行或重合 ⊙结论形成 1.定义：一般地，如果表示非零向量α的有向线段所在的直线与直线1平行或重合 则称向量a为直线1的一个方向向量，记作a∥1 2.直线1的方向向量的性质 (1)如果a为直线1的一个方向向量，那么对于任意的实数入≠0，向量a都是1的一 个方向向量，而且直线1的任意两个方向向量一定共线： (②)如果A(,),Bx2,2)是直线1上两个不同的点，则是直线1的一个方向向量. 3.直线的方向向量与直线的斜率的关系 一般地，如果已知a=(u,)为直线1的一个方向向量，则： (1)当u=0时，显然直线1的斜率不存在，倾斜角为90°： (②2)当u≠0时，直线1的斜率是存在的，而且此时(1，)与a=(,)都是直线1的一个方 向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×)=k×4,从而k=四，因此可知倾斜 角满足an0=业 导学2直线的法向量 回题a是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，如果n是平面a的一个法 向量，则n满足什么条件？ [提示]n⊥a ○结论形成 1.定义 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线1垂直，则称向量？为直 线1的一个法向量，记作⊥1。 2.直线的方向向量与法向量互相垂直 [基础自测 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为1,0)，一个法向量为0,1)() ◆独家授权侵权必究· 亨学科网书城 品牌书店·知名教数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)若直线的一个方向向量为(a,a十1)，则该直线的斜率为k=a十1a.() (③)若直线的法向量为o=(c。,),则a=0yo,一)能作为该直线的一个方向向量.() (4)任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的.() 答案(1)√(2)×(3)√(4√ 2.若直线1的方向向量是e=(一1,3)，则直线1的倾斜角是() A.x6 B.x3 C.2r3 D.5π6 解析由题意得直线1的斜率为一3，则直线的倾斜角是2π3 答案C 3.若直线1的一个法向量n=(3,3),则直线1的一个方向向量可以为() A.(1,-1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(0,1) 解析设直线的方向向量m=(1,), .直线1的一个法向量为n=(3,3), mn=0,k=-1, 故选A 答案A 4.经过A,2),B(3,一4)两点的直线的一个方向向量为(1,3)，则x 解析由条件可知，一4-23一x=3,解得x=5 答案5 课堂案关键能力·互动探究 /见规停·桥方法·者养提升 题型一直线的方向向量 例1直线1过点(-1，-2)，(-1,2)且直线1的方向向量为a=0m,m,则mm= [自主解答]依题意，直线1垂直于x轴，m=0,n为任意非零实数，∴mn=0 [答案]0 [规律方法] 直线的方向向量的求法 (1)在直线上任找两点P,Q,则()为直线1的一个方向向量. (2)已知直线的斜率为k,则a=(1,)为直线的一个方向向量. [触类旁通] 1.若直线I的一个方向向量是rcy(aivs-4acol(-r3),6,则其斜率等于() A.3)6 B.-3)6 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.23 D.-23 解析由于直线1的一个方向向量是rc)个as4 alcol(一r(3),6),则直线I的斜率为6 -r3)=-23 答案D 题型二直线的法向量及应用一题多变 例图己知菱形四边形ABCD中，点A(-1,一2)，B(2,1),直线BC的方向向量为a =(3,O,BD的法向量为=（一2，一3），求点C的坐标. [自主解答]设点C的坐标为(xo,),=c。一2，y%一1) ∴.∥a,∴.(-2)×6-30y0-1)=0,即26-y%-3=0①. 又=(6十1，十2)，四边形ABCD为菱形，AC⊥BD, :为BD的-个法向量，·0，-20+2十3，+1)=0，即3，-20-1=0② 由①②解得x0=5,y0=7).点C的坐标为(5,7) [母题变式] (变条件、设问)在本例中，若直线AB的法向量的大小为18，求这个法向量。 解析因为4-1，一2.B配，)，所以直线B的方向向量为=6,3， 所以其法向量可设为=（一3,3），由题