一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（8）2024届高考湖北省数学起点考试圆锥曲线“一题多解”两例

2024新高考湖北起点考试圆锥曲线“一题多解”两例 ——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化 【方法策略简述】 一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题. 二、解决此类问题的方法策略主要有三种： 1、根与系数的关系法（主流方法）． 设出动直线的方程（），与圆锥曲线方程联立消元得到关于的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解． 2、多变量多参数联动变换法（圆曲不联立）． 此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验． 3、设点求点法． 方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线与椭圆的交点易求出． 【腾云联盟8月联考‧21】 已知过点的直线交抛物线于A，B两点，且（点O为坐标原点），M，N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点，直线NP过定点. （1）求该抛物线的标准方程； （2）证明：直线MN过定点. 【答案】（1） （2）MN过定点，证明见解析 【解析】 (1)设直线AB方程为，，， 联立得，消x得， 得，， 因为，所以， 即，， 所以抛物线的解析式为：. (2)法一（多变量多参数联动变换法） 设，，，（两两互不相等） 因为M、P、C三点共线，所以，即，① 因为N、P、D三点共线，所以，即，② 直线MN方程为：，即③ 由①②得，即， 代入③得，所以直线MN过定点. 法二（设点求点法） 设，，，（两两互不相等） 直线的方程为，与联立消去得， 方程的两根为点的纵坐标，故，即， 直线的方程为，与联立消去得， 方程的两根为点的纵坐标，故，即， 直线的方程为，即，化简得， 即，即， 即，即 所以直线MN过定点. 【宜荆荆恩9月‧22】 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两个动点，面积的最大值为2. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，.若，求的最大值. 【解析】 (1)解：当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值 结合及，解得 ，故椭圆C的标准方程为. 法一（非对称韦达法） 设点 若直线PQ的斜率为零，由对称性知，不合题意. 设直线PQ 的方程为 ，由于直线PQ不过椭圆 C 的左、右顶点，则  联立 得，由可得 ， ， 所以 解得 即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点 . 由韦达定理可得， 由平面几何知识 所以 设则，当时 故在单调增 因为，所以 因此，的最大值为 法二（设点求点法） 设点 直线的方程为，代入得 方程的两根为，则，， 从而，点， 因为，故点 直线的方程为，代入得 方程的两根为，则，， 从而，点， 直线的方程为 即 令，化简可得 故直线PQ过定点  设直线PQ的方程为，代入得 由韦达定理可得， 由平面几何知识 所以 设则，当时 故在单调增 因为，所以 因此，的最大值为 $$