1.2.3 充分条件、必要条件【4大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

1.2.3 充分条件、必要条件 一、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 二、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件 1、充分不必要条件：如果且，则称是的充分不必要条件； 2、必要不充分条件：如果且，则称是的必要不充分条件； 3、充要条件：如果且，则称是的充分必要条件，简称充要条件； 4、既不充分也不必要条件：如果且，则称是的既不充分也不必要条件 三、充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 四、充分条件、必要条件的判断方法 1、定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论． 2、命题判断法 ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 3、集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围. 4、传递法：由推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件. 五、探求充要条件的两种方法 1、先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． 2、将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 题型一 充分、必要条件的判断 【例1】（2022秋·湖北黄冈·高一校考期中）“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2023秋·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）“”是“且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的 条件．（填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等．） 【变式1-3】（2023秋·高一课时练习）下列说法不正确的是 ．（只填序号） ①是的必要条件； ②是的充分不必要条件； ③是且的充分条件； ④是的充分不必要条件． 【变式1-4】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）（多选）已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（ ） A．是成立的充要条件 B．是成立的必要不充分条件 C．是成立的充分不必要条件 D．是成立的必要不充分条件 题型二 探求充要条件 【例2】（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）设，则“”的一个充要条件是（ ） A．a，b都为2 B．a，b都不为2 C．a，b中至少有一个为2 D．a，b都不为0 【变式2-1】（2022秋·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）设，则“”的充要条件是（ ） A．a，b都为 B．a，b不都为 C．a，b中至少有一个为 D．a，b都不为0 【变式2-2】（2021·高一课时练习）设集合，，则“且”成立的充要条件是（ ）