第1章全等三角形-常见解题模型(倍长中线+半角+手拉手)讲义2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形-常见解题模型 【学习目标】 1.倍长中线模型 2.半角模型 3.手拉手模型 【典型例题】 类型一、倍长中线模型 【例1】如图，在VABC中，CD是AB边上的中线，设BC=a,AC=b,若a,b满足a2-I0a +b2-18b+106=0,则CD的取值范围是 举一反三： 【变式1】如图，在VABC中，AC=2AB,AD平分∠BAC,延长CB到点E,使BE=BD, 连接AE. A B D (1)依题意补全图形： (2)试判断AE与CD的数量关系，并进行证明. 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 1 【变式2】(1)阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着 点D逆时针旋转I80°得到△EBD),把AB、AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三 边的关系即可判断 中线AD的取值范围是 (2)问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交 AC于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF: (3)问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点 作一个7O°角，角的两边分别交AB,AD于E、F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF 之间的数量关系，并加以证明 D 图① 图② 图③ 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 2 类型二、半角模型 【例2】如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45,则线段MN,BM与DN之间的关系是 () A.MN= BM+DN B.BM=MN+DN B.DN=MN+BM D无法确定 D 举一反三： 【变式I】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC为外一 点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上 移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系. (1)如图1，当点M、N分别在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 一：此时= 一（直接写出结果）： (2)如图2，点M、N边分别在AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想BM、NC、 MN之间的数量关系并加以证明； (3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想BM、NC、MN之 间的数量关系并加以证明： D 图1 图2 图3 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 3 【变式2】(1)如图1.在四边形 ABCD 中， $$A B = A D ， \angle B = \angle D = 9 0 ^ { \circ } ， E ， F$$ 分别是边 BC， CD上的点，且 $$\angle E A F = \frac { 1 } { 2 } \angle B A D ，$$ 求证： EF=BE+FD. (2)在四边形 A BCD中， $$A B = A D ， \angle B + \angle D = 1 8 0 ^ { \circ } ， E ， F$$ 分别是边 BC， ，CD上的点 $$\angle E A F = \frac { 1 } { 2 } \angle B A D ， \left( 1 \right)$$ 中的结论是否仍然成立?(不需要说明理由) (3)如图2，在四边形 ABCD 中， $$A B = A D ， \angle B + \angle A D C = 1 8 0 ^ { \circ } ， E ， F$$ 分别是边BC， CD 延长线上的点，且 $$\angle E A F = \frac { 1 } { 2 } \angle B A D ， \left( 1$$ )中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不 成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 A A F D D B C F E B B E C C 图1 图2 【变式3】(1)问题背景： 如图1.在四边形 ABCD 中， $$A B = A D ， \angle B A D = 1 2 0 ^ { \circ } ， \angle B = \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ， E ， F$$ 分 别是 BC，CD 上的点，且 $$\angle E A F = 6 0 ^ { \circ } ，$$ ，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系. G D D A F F B E CB E 图1 图2 小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使 DG=BE， ，连结AG，先证明 △ABE @ △ADG， 再证明 △AEF≅△AGF