3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

互动探究 讲授新课 当堂练习 课堂小结 3.3 抛物线 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 方程 图形 准线 焦点 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质? 1、范围 由抛物线y2 =2px（p>0） 有 所以抛物线的范围为 2、对称性 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称. 则 (-y)2 = 2px 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 关于x轴 对称 3、顶点 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。 ∵y2 = 2px (p>0)中，令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0,0）. 4、离心率 P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1. 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径， 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. |AB|=2p 5、通经 2p越大，抛物线张口越大. F A B y2=2px 2p x y O 6、焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 |PF|=x0+p/2 焦半径公式： F A B y2=2px 2p x y O 　例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程. 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　）， 解: 所以设方程为： 又因为点M在抛物线上， 所以： 因此所求抛物线标准方程为： l F A A1 x y B B1 例4、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 l F A A1 x y B B1 例4、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。 8 通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。 x O y F A 焦点弦公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。 B 交点弦问题 x y O A B D F l 经过抛物线焦点的直线交抛物线于，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴 例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。 x y O F A B D x y O 直线与抛物线位置关系种类 1、相离(0个交点)； 2、相切(1个交点) ； 3、相交(1个交点,2个交点) 三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行（重合） 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 >0 =0 <0 相交 相切 相离 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 课堂小结 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 抛物线的离心率是确定的，等于１； 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大. 1、范围： 2、对称性： 3、顶点： 4、离心率： 5、通径： 课堂小结