专题2.2 基本不等式及其应用（讲+练，7大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式及其应用 知识点一 重要不等式 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 知识点二 基本不等式 1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点三 基本不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ 知识点四 常用推论 （1）（） （2）（，）； （3） 考点01 利用基本不等式证明不等式 【典例1】（2023秋·高一课时练习）下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【规律方法】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 考点02 “定和”条件下求最值 【典例3】（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【典例4】【多选题】（2023秋·高一单元测试）设正实数a，b满足，则（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值. 【规律方法】 1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值. 2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3．常数代换求解最值应注意的问题 (1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； (2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； (3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．　 考点03 “定积”条件下求最值 【典例6】（2022秋·陕西西安·高一校考期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【典例7】（2022秋·浙江台州·高一校联考期中）若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例8】（2023秋·高一课时练习）设，则的最小值是 ． 【规律方法】 1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值. 2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等． 3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 4.利用基本不等式求最值时，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 考点04 “和、积关系”条件下求最值 【典例9】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 【典例10】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______. 【总结提升】 1. 结合基本不等式，通过“放缩”“化积为和”，构建关于目标的不等式，解不等式求得最值或范围； 2.变换已知等式，转化成“和”为定值； 3.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 考点05 “平方关系”条件下求最值 【典例11】（2023·江苏常州·校考一模）设，，且，则当取最小值时，______. 【典例12】（2023·辽宁大连·统考三模）已知，