专题05 圆中的重要模型-圆中的翻折模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题05 圆中的重要模型-圆中的翻折模型 知识储备： 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA 特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60° 例1．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 例2．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，与相交于点D．若，则 ． 例3．（2023·山东济宁·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠交直径于圆心O，则 度．    例4．（2023春·广西·九年级专题练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为，，，点为圆上一点，，将沿弦翻折，交于点，图中阴影部分的面积 ． 例5．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（　　） ①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACB A．1 B．2 C．3 D．4 例7．（2022秋·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 例8．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ． 例9．（2023·浙江温州·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长； ②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为　 　 课后专项训练 1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（    ） A． B．2 C． D． 3．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形纸片中，点M，N在上，将纸片沿折叠，折叠后使点A和点D重合于点I，的外接圆分别交于点P，Q．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在中，为直径，点为图上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，如果，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，将沿弦折叠，点，分别是两条弧的中点，与的度数之比为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上的点E处，若，则（  ）    A．40° B．50° C．55° D．65° 7．（2023·湖北黄石·校联考模拟预测）如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（    ）    A． B． C． D． 8．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，D、E为圆上动点，且D、E关于AB对称，将沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点处，若⊙O的周长为10，则的长为（　　） A．1 B．1.25 C．1.5 D．2 9．（2023·浙江温州·九年级统考期末）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段D