2.4.2圆的一般方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

互动探究 讲授新课 当堂练习 课堂小结 2.4圆的方程 第二章 直线和圆的方程 2.4.2圆的一般方程 1、同学们想一想，若把圆的标准方程 展开后，会得出怎样的形式？ 2、那么我们能否将形式写得更简单一点呢？ 得 3、反过来想一想，形如 的方程的曲线就一定是圆吗？ 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得： （1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ）为圆心，以( )为半径的圆   （3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形 所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2+E2-4F>0)可表示圆的方程 1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项. 2.几个常见圆的一般方程 (1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E为0，-4F>0), (2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0); (3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0); (4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0); (5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 圆的一般方程: 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题 （1）已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). （2）点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程. 例5.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。 分析：如图,点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4. 建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).由于点B的坐标是 （4,3),且M是线段AB的中点，所以 于是有x0=2x-4,y0=2y-3. ①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0+1)2+y2=4. ② 把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4. 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式，轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合） 整理，得 这就是点M的轨迹方程，它表示以 为圆心，半径为1的圆. 名称 标准方程 一般方程 方程形式 圆心 半径 点A(x0,y0)在圆上 点A(x0,y0)在圆外 点A(x0,y0)在圆内                 (,)     r>0   例4.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①. 因为O,M1,M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解。把它们的坐标依次代入方程①， 得到关于D,E,F的一个三元一次方程组 所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,-3), 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： 圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较 (1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. (2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于,,或,,的方程组； (3)解出,,或,,得到标准方程或一般方程 若方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求实数 m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径. 解:由表示圆的条件,得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： （1）由圆的一般方程的定义，令 D2＋E2－4F > 0 成立，则表示圆，否则不表示圆. （2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 注意：所给方程是不是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解. 2.代入法(相关点法)解决以下类