专题06 全等模型-角平分线模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题06 全等模型-角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 图1 图2 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是的平分线，若，，则的长是（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 例2．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分； ②；③；④． 其中结论正确的是（填写结论的编号）（   ） A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 例4．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且． (1)如图1，当时，与的数量关系是______． (2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．    例2．（2022·福建·厦门九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 例3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　；②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 例1．（2023·广西八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 例2．（2023春·长度·七年级专题练习）已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上． 例3．（2023·重庆·八年级专题练习）已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． 例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出