第14讲 圆锥曲线综合问题——最值与存在性-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第14讲 圆锥曲线综合问题——最值与存在性 【人教A版2019】 ·模块一 最值问题及其常见解法 ·模块二 存在性问题及其常见解法 ·模块三 课后作业 模块一 最值问题及其常见解法 1.圆锥曲线中的最值问题的解题思路 (1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)； (2)构建不等关系. 【注意】：若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路. 【考点1 椭圆中的最值问题】 【例1.1】（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例1.2】（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆：的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆，点在椭圆上，满足在椭圆上存在一点到直线的距离均为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知A，B两点的坐标分别为，，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．斜率为l的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则的面积的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【考点2 双曲线中的最值问题】 【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为． (1)求E的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值． 【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°. (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值. 【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围. 【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率． (1)求的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值． 【考点3 抛物线中的最值问题】 【例3.1】（2023秋·河南信阳·高三校考期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（    ） A． B．4 C． D．5 【例3.2】（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023秋·江西南昌·高二校考期中）设点为抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆的切线，分别交抛物线C于点，当时，求面积的最小值（    ） A． B． C． D． 模块二 存在性问题及其常见解法 1．圆锥曲线中的存在性问题的求解策略： (1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； (2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若在假设存在的前提下可以求出与已知、定理或公理相同的结论，则说明假设成立；否则说明假设不成立. 【考点4 椭圆中的存在性问题】 【例4.1】（2023秋·山东·高三校联考开学考试）已知椭圆，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点． (1)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求