第13讲 圆锥曲线综合问题——定点、定值与定直线-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第13讲 圆锥曲线综合问题——定点、定值与定直线 【人教A版2019】 ·模块一 圆锥曲线中的定点、定值问题 ·模块二 圆锥曲线中的定直线问题 ·模块三 课后作业 模块一 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 【考点1 椭圆中的定点、定值问题】 【例1.1】（2023秋·江苏南通·高二校考开学考试）已知椭圆C：的左顶点为A，椭圆C的离心率为且与直线相切． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点（异于点A），且．则直线l是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由． 【例1.2】（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【变式1.1】（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知，分别是椭圆长轴的两个端点，C的焦距为2．，，P是椭圆C上异于A，B的动点，直线PM与C的另一交点为D，直线PN与C的另一交点为E． (1)求椭圆C的方程； (2)证明：直线DE的倾斜角为定值． 【变式1.2】（2023秋·江西·高三统考开学考试）已知椭圆的离心率为，且点在上. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，直线与交于另一点，与直线平行的直线交于，两点，直线与交于点，证明：直线的斜率为定值. 【考点2 双曲线中的定点、定值问题】 【例2.1】（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上. (1)求双曲线C的方程； (2)不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点. 【例2.2】（2023春·福建厦门·高二校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明. ①为定值； ②为定值； ③为定值 【变式2.1】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的方程； (2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式2.2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；    (1)求双曲线的方程； (2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值. 【考点3 抛物线中的定点、定值问题】 【例3.1】（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点为抛物线的焦点，点，，且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若斜率存在的直线过点且交抛物线于，两点，若直线，交抛物线于，两点（、与、不重合），求证：直线过定点. 【例3.2】（2023秋·湖南·高三校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且． (1)求的值； (2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值． 【变式3.1】（2023秋·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q. (1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围； (2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点． 【变式3.2】（2023秋·安徽合肥·高三校联考开学考试）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点. (1)若直线与只有一个公共点，求； (2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点. ①证明： ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，