1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

6学科网 学种网票创，让学贝更容易！ o JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 【考点梳理】 考点一：空间向量中的距离问题 1.点P到直线1的距离 已知直线1的单位方向向量为4，A是直线1上的定点，P是直线1外一点，设向量在直线1上的投影向量为=a, 则点P到直线1的距离为a2-a·u2 2.点P到平面a的距离 设平面a的法向量为n,A是平面a内的定点，P是平面a外一点，则点P到平面a的距离为AP一)nl. 考点二：空间向量中的夹角问题 角的分类 向量求法 范围 a\vs4 设两异面直线，2所成的角为0，其方向向量 \al\co 两条异面直 分别为，，则cos0=cos(,)1= 1(0, 线所成的角 u·vulv f(r2) 设直线AB与平面a所成的角为8，直线AB的方 0,1 直线与平面 向向量为，平面a的法向量为n,则sn0= f(π2) 所成的角 cos (u,n)=u.nlul n 设平面a与平面的夹角为0，平面a,的法向量 0,1 两个平面的 分别为m1,2,则cos0=cos(m1,n2〉= f(r2) 夹角 nl·n2lnl|n2 ○原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 6学科网 学种网票创，让学贝更容易！ .CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【题型归纳】 题型一：点到直线平面的距离的向量求法 1.(2023春江苏徐州高=徐州高级中学)空间中有三点PQ0,ML2.0,NQ,L》· 则点P到直线MN的距离 为() A.2⑤ B.V5 C.2√2 D.2 3 3 2.(2023秋·全国·高二随堂练习)在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC,∠BAC=90°，AB=AC=4,∠PBC=45°， 则点C到平面PAB的距离是() A.46 3 B.26 C.4v5 D.42 3 3 3 3.(2023春高二单元测试)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平而ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC, CP的中点，AB=AC=1,PA=2 (I)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值： (2)求点P到平面DEF的距离； (3)求点P到直线EF的距离 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6学科网 学种网票创，让学司更容易！ .CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 题型二：平行平面的距离的向量求法 4.(2023全国·高二专题练习)在边长为1的正方体ABCD-A,BCD中.平面AB,C与平面A,DC之间的距离为() A.3 B.1 c.② 3 2 D.5 5.(2023秋·全国高二随堂练习)正方体ABCD-A BiC D,的棱长为4，M,N,E,F分别为AD,AB,CD,BC 的中点，则平面AN与平面EFBD的距离为一 D B A 6.(2022高二单元测试)如图，正方体ABCD-AB:CD,的棱长为4，点M,N,E,F分别为AD,AB,CD, BC1的中点， D M B (1)证明：平面AMW平面EFBD: (2)求平而AMN与平面EFBD间的距离. O⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 6学科网 学种网票创，让学司更容易！ WW.ZXXK.CON JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 题型三：异面直线夹角的向量求法 7.(2023春·广东深圳高二深圳外国语学校校考阶段练习)在正方体ABCD-A,BCD,中，M,N分别为AD,CD,的 中点，O为侧面BCCB的中心，则异面直线MW与OD所成角的余弦值为() A.1 B.V6 c.30 D.35 6 6 6 8.(2023春河北石家庄高二正定中学校考阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形，PA=AB,E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为() A.2 B.5 C.v1o D.5 5 5 5 5 9.(2023春·云南保山高二校联考阶)如图，设在直三棱柱ABC-A,B,C中，AB=AC=A4,=2,∠BAC=90°，E, F依次为CC,BC的中点. A C B (I)求异面直线A,B、EF所成角的余弦值： (2)求点B到平面AEF的距离 ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 6学科网 学种网票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 题型四：线面角的向量求法 10.(2023浙江温州高二统考学业考试)如图，在三棱锥P-48C中，平面P4C1平面4BC,∠PCA=牙，M为 BC中点且AM=BM. P B (1)求证：AB1PC: (2)若AM⊥BC,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 11.(2023春·黑龙江双鸭山高二校考阶段练习)如