1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

6学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 【考点梳理】 考点一：空间中点、直线和平面的向量表示 1空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点 P的位置向量。 2.空间中直线的向量表示式 直线1的方向向量为a,且过点A如图，取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线1上的充要条件是存在实 数t,使 =一+a,① 把=a代入①式得 =+广，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 3空间中平面的向量表示式 平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数，八，使=+x+y我们称为 空间平面ABC的向量表示式. 考点二：空间中平面的法向量 平面的法向量 如图，若直线lLa,取直线1的方向向量a,我们称a为平面的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确 定，可以表示为集合Pa=0}. 考点三：空间中直线、平面的平行 1线线平行的向量表示 设1,2分别是直线，2的方向向量，则 1∥12台1∥2台3A∈R,使得h=2 2线面平行的向量表示 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 6学科网 学种网需创，让学贝更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 设u是直线1的方向向量，n是平面a的法向量，la,则I∥a台⊥n÷ln=0 面面平行的向量表示 设m1,h2分别是平面a,的法向量，则a∥B台n1∥n2台于元∈R,使得n1=n2 考点四：空间中直线、平面的垂直 1线线垂直的向量表示 设41，红分别是直线1,2的方向向量，则 1⊥2÷⊥42种12=0. 2.线面垂直的向量表示 设u是直线1的方向向量，n是平面a的法向量，1a,则1⊥a÷u∥n台3入∈R,使得4=n. 知识点三面面垂直的向量表示 设m1,2分别是平面a,的法向量，则 a⊥B中m1⊥n2÷n1n2=0 【题型归纳】 题型一：平面的法向量的求法 1.(2023春江西赣州高二校考)已如点41,1,0，B(-1,0,2),C(0,2,0)者在平面a内，则平面a的一个法向量的 坐标可以是() A. C.(2,2,3 D.(2,-2,-1 2.(2023春江苏镇江高二江苏省镇江中学校考期末)已知向量AB=(1,1,-1),AC=(-1,1,0),则平面ABC的一个法 向量元=() A.(1,1,2 B.1,-1,0 C.-1,1,2) D.-1,1,0 3,(2023全国高二专题练习)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳘稠在鳘璃A-8CD中， AB⊥平面BCD,∠BDC=90°，BD=AB=CD,若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为 () ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ O JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 B D A.(0,1,0) B.(0,l,1 C.1,1, D.(1,L,0 题型二：空间中直线、平面的平行 4(203秋商二单元测试)已知直线1平面，且的一个方向向量为-号小 平面a的一个法向量为 6=(m,2,6),则实数m的值为(） A.2或-3 B.-2 C.3 D.-2或3 5.(2023·全国高二专题练习)如图，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，E,F分别为PD,PB的中点，点 G在线段AP上，AC与BD交于点O,PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则AG=() C D A.月 B.3 c号 D.1 6.(2023全国·高二专题练习)在正方体ABCD-A,B,CD,中，点P为线段DB上的动点，M,N分别为棱BC,AB的 中点，若DP1/平面RMW, DB =() 1 B C. D.3 题型三：空间中直线、平面的垂直 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ .CO JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.(2023秋高二单元)已知直线1的方向向量e=(1,-1,-2),平面a的法向量n= 若1⊥a,则元=() B月 C. D. 5 8.(2023秋全国高二)已知AB=(1,5,-2,BC=(3,1,z,BP=(x-1,y,-3),若AB⊥BC,且BP⊥平面ABC, 则BP=() A(95(9c5 9,(2023春高二课时练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD1中，E,F分别为棱BC,BB,的中点，G为 面对角线AD上的一点，且DG=1DA(0≤入≤1)，若AC⊥平面EFG,则元=() E A B G D- C A 1 B C.② 4 D. 题型四：空间向量研究直线、平面的位置综合问题