2.1 等式性质与不等式性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 【素养目标】 1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模) 3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理) 4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理) 【学法解读】 在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异． 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子. 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子 【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； 设该路段行驶的汽车速度为，则 ， 问题1：不等关系及其表示 （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂 线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ. A B C P Q 你能写出其他的可能情况 吗？ 【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ 设三角形三边分别为，则 【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元? 【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， ≥20，求出不等式的解，即可求出定价 所以用不等式表示为： 问题1：不等关系及其表示 问题2：不等式的性质 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实． 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a,b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A,B,当点A在点B的左边时，a<b;当点A在点B的右边时，a>b. 如何解不等式 ≥20呢？ 问题3：比较大小 关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a>b; 如果a-b等于0,那么a =b; 如果a-b是负数，那么a<b. 反过来也对. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 比较大小的基本方法【作差法】 用符号表示为 ① 𝒂−𝒃>𝟎⇒𝒂>𝒃 ② 𝒂−𝒃<𝟎⇒𝒂<𝒃 ③ 𝒂−𝒃=𝟎⇒𝒂=𝒃 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆” 比较和的大小. 【解】运用作差法： 2＞0， 所以＞ 0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆. 如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？ 很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把它抽象成如图所示的图形. 设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即 当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时，有，所以综合可知， 问题4：一个重要不等式 一般地，，这个不等式被称为重要不等式， 当且仅当时，等号成立. 事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式： 因为,,当且仅当时，等号成立. 所以 因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到： ，当且仅当时，等号成立. 问题4：一个重要不等式 ★性质1【对称性】 ★性质2【传递性】 ★性质3【加减性】 ★性质4【同乘性】 ★性质5【同除性】 如果，那么 如果，，那么 如果，那么 如果，那么 如果，，那么 思考 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，