第25讲 导数中的隐零点代换与估计问题-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

第25讲 导数中的隐零点代换与估计问题 题型一：隐零点代换证不等式 【精选例题】 【例1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 【例2】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求证在上存在极值点，且. 【跟踪训练】 1.已知函数. （1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明：； （2）若，求的取值范围. 2.已知函数（e是自然对数的底数）． （1）当时，试判断在上极值点的个数； （2）当时，求证：对任意，． 3.已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）若，求的取值范围. 题型二：导数中的隐零点同构求范围问题 【精选例题】 【例1】已知函数（，为自然对数的底数），. （1）若有两个零点，求实数的取值范围； （2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【例2】已知函数. （1）当，讨论的单调性； （2）当时，若恒成立，求的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知函数，. (1)当时，判断的零点个数； (2)若恒成立，求实数a的值. 2.已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点（其中），求实数的取值范围． 题型三：导数中隐零点的估计值域问题 【精选例题】 【例1】已知函数，且． （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 【例2】已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：． 【例3】已知二次函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，记为函数极大值点，求证：． 【跟踪训练】 1.（1）讨论函数的单调性，并证明当时，； （2）证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域． 2.已知函数，且． （1）求； （2）证明：存在唯一的极大值点，且． 3.已知函数． （1）求的极值； （2）若在，上的最大值为，求证：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第25讲 导数中的隐零点代换与估计问题 题型一：隐零点代换证不等式 【精选例题】 【例1】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 则切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为. （2）当时，令，，求导得， 显然函数在上单调递增，令，，，即函数在上单调递增，而，则存在唯一，使得，即，因此存在唯一，使得，当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，当时，，则，（当且仅当即时，取等号，故式子取不到等号）所以当时，. 【例2】已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求证在上存在极值点，且. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）时，，，令，则，于是时，，递增，时，，递减，故在处取得最小值，即，于是，故在上递增，注意到，故，结合单调性，于是，即，解得，不等式的解集为. （2），则，令，，由可知，时，，递增，时，，递减，在处取得最小值， 而，又记，， 故在上单调递减，故，于是，即； ，令，，记，则，则在单增，， 故在上递增，，取，则； 记，，于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取得等号，于是. 于是， 由和零点存在定理可知，，使得，且，，，，所以是极小值点；由可得，，令，代入，整理，， 于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取，故，原命题得证. 【跟踪训练】 1.已知函数. （1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明：； （2）若，求的取值范围. 解析：（2）记，依题意，恒成立， 求导得，令， 则在上单调递增，又， 则，使得，即成立， 则当单调递减；当单调递增， ，由，得， 于是得，当时，令， 有在上单调递减，而在上单调递增，即有函数在上单调递减，于是得函数在上单调递减，则当时，，不合题意； 当且时，由（1）中知，，有，从而 ，由知，因此满足，又在上单调递增，则有，而，所以实数的取值范围是. 2.已知函数（e是自然对数的底数）． （1）当时，试判断在上极值点的个数； （2）当时，求证：对任意，． 解析：（1）在上只有一个极值点，即唯一极小值点； （2）证明：由，设，则 在上是增函数，当 时，，因为，所以，所以存在 ，使得，当时，，则，即在上单调递减，当时，，则，即在上单调递增，故 是函数的极小值点，也是最小值点，则 ，又因为，所以，即证：对任意，， 即证：对任意，，设，则在上单调递减，因为，所以 ，故， 故对任意，. 3.已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）若，求的取值范围. 解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为. （2）由于,，且. 设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时， ，,∴存在唯