2.2.1不等式及其性质-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

2.2.1不等式及其性质 题型1用不等式(组)表示不等关系 2 题型2实数的大小比较 3 ◆类型1作差法 4 ◆类型2作商法 5 题型3不等式的性质及应用 5 题型4代数式的取值范围问题 7 ◆类型1直接法 7 ◆类型2待定系数法 8 题型5证明题 9 知识点一.基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型1用不等式(组)表示不等关系 【例题1】（2023秋·高一课时练习）（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？ 【变式1-1】1. （2023秋·高一课时练习）用不等式表示下列关系. (1)为实数，而且大于1不大于6； (2)与的平方和不小于2且不大于10. 【变式1-1】2. （2023·全国·高一课堂例题）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？ (1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【变式1-1】3. （多选）（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】4. （2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 题型2实数的大小比较 【方法总结】比较不等式的大小时，一般可采用以下几个方法： （1）作差比较法；若，则； （2）利用作商比较法.当，，且时，. ◆类型1作差法 【例题2-1】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】1. （2023·全国·高一课堂例题）已知，，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-1】2. （2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（    ） A．甲 B．乙 C．一样低 D．不能确定 【变式2-1】3. （2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】4. （2022秋·天津滨海新·高一校考期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】5.（2022秋·四川泸州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在AB上取一点C，使得，过点C作交以AB为直径的半圆弧于D，连接OD，作，垂足为E． (1)请用a，b分别表示出CD，DE； (2)写出CD与DE的大小关系，并证明． ◆类型2作商法 【例题2-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小. 【变式2-2】1. （2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小 【变式2-2】2. （2023秋·全国·高一随堂练习）若，求证：． 【变式2-2】3. （2021·全国·高一专题练习）