专题21.8 反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题21.8 反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 知识点结构 【知识点一】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非 零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①；②；③. 【知识点二】反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点三】反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点四】系数k的几何意义 (1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. (3)越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点五】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点六】反比例函数中的三个模型 【考点一】反比例函数➼➼➻有关概念 【例1】（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）关系式 中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由． 【答案】是； 【分析】直接利用反比例函数的定义，即形如(k为常数且)的函数，叫做反比例函数，即可判定． 解：是的反比例函数， 由得，，比例系数等于， 故是的反比例函数，比例系数等于． 【点拨】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023·上海·八年级假期作业）已知反比例函数，求的值，并求当时的函数值． 【答案】， 【分析】根据反比例函数的定义求得的值，进而求出当时的函数值． 解：∵是反比例函数， ∴， ∴． ∴函数解析式为：， 当时，． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题的关键． 【变式2】（2022秋·湖南怀化·九年级校考期中）已知反比例函数的图象经过点 （1）求这个反比例函数的表达式； （2）点，是否在这个函数的图象上 【答案】（1）；（2）点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上． 【分析】（1）直接把点代入反比例函数，求出k的值即可； （2）把点，分别代入（1）中函数解析式进行检验即可． （1）解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：∵当时，， ∴点在该函数的图象上； ∵当时，， ∴点不在该函数的图象上． 【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【考点二】反比例函数➼➼➻求反比例函数的解析式 【例2】（2023春·湖南湘潭·九年级校联考开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先将代入，求出m的值，得出点A的坐标，再将点A的坐标代入即可求出反比例函数表达式； （2）联立一次函数和反比例函数表达式，求解即可． （1）解：将代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立和得： ， 解得：或， ∴．