2.2基本不等式第一课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式 第一课时 第二章 一元二次函数、方程和不等式 问题引入 问题 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，你能在这个图中找到一些相等关系和不等关系吗？ 相等关系 a 不等关系 a=b, 一般地， 当且仅当，a=b时，等号成立。 完全平方公式=（a-b)2 探求新知 当且仅当，a=b时，等号成立。 特别地，如果a>0，b>0，我们用,分别代替上式中的a,b,可得 ,当且仅当a=b时，等号成立。 重要不等式 基本不等式 叫做正数a,b的几何平均数；叫做正数a,b的算术平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 探求新知 问题 能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 证明：要证， 只要证2aba+b. ① 要证①，只要证2ab-a-b0 . ② 要证②，只要证-0 . ③ 要证③，只要证. ④ 显然，④成立，当且仅当a=b时，④中的等号成立。 分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。 分析法证明基本不等式 探求新知 探究 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 证明：因为∽，所以CD=. 又因为CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立。 几何法证明基本不等式 探求新知 证法1：分析法，注意根式的特征 证法2：几何法，寻求以形助数 证法3：比较法，作差配方比较大小 证明： -=]= 当且仅当a=b时，取等号。 注意不等式的结构特征，对其进行不同的等价变形，将会产生多种证明不等式的思维方法。 例题精讲——利用基本不等式求解最值、范围问题 例1 已知x,y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2； （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 证明：因为x,y都是正数，所以 （1）当积xy等于定值P时，，所以 当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，和x+y有最小值2 （2）当和x+y等于定值S时，，所以 当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值 归纳小结 1、利用基本不等式求最值 已知x,y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. （2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 简称：积定和最小 简称：和定积最大 2、利用基本不等式求解最值、范围问题 应用基本不等式时，要注意构造满足基本不等式的条件，常用的解题技巧是合理拆分项或配凑因式，目的在于满足“和为定值或积为定值”。 在应用时必须注意保证“一正二定三相等”。 一正：各项必须为正数； 二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，否则求最值就会出错； 三相等：要保证等号成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值。 课堂练习 1、已知x>0，求x+的最小值。 解：因为x>0，所以x+=2, 当且仅当x，即x2=1,x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2. 想一想，当y0<2时，x+成立吗？这时能说y0是x+（x>0）的最小值吗？ 当y0<2时，x+ 成立，但不能说是最小值。 因为x+ 可知x+恒成立，但等号取不到，所以x+。由于没有等号成立，所以不能说是最小值。 例题精讲——掌握基本不等式求最值的技巧 例2 已知x>0,y>0,+=1,求x+y的最小值。 解：方法一：“1”的整体代入 因为 + =1，所以x+y=(x+y)+ =10+. 因为x>0,y>0,所以 （当且仅当时，即y=3x时，去等号）。 又因为 + =1，所以x=4,y=12.所以当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. “1”的整体代入： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）。 （2）把确定的定值（常数）变形为1. （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式。 （4）利用基本不等式求解最值。 例题精讲 方法二：消元化归部分分式。 由,得x=. 因为x>0,y>0,所以y-9>0,则y>9, 所以x+y=+y=y+y++1=(y-9)++10. 因为y-9>0,所以(y-9)+=6, 当且仅