2.1等式性质与不等式性质 第二课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 第二课时 第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习引入 1、怎样构建变量所满足的不等关系？ 要先弄清题意，分清是常量与常量、常量与变量、函数与函数，还是一组变量之间的不等关系； 类比等式的建立找到不等式，选准不等号连接； 注意不等式与不等关系的对应，做到不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围。 2、比较大小的方法 作差法 作商法 介值比较法 平方法 探求新知 思考 请你梳理等式的基本性质，再观察它们的共性。你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 性质1 如果a=b，那么b=a 性质2 如果a=b,b=c,那么a=c 性质3 如果a=b，那么a 性质4 如果a=b，那么ac=bc 性质5 如果a=b,c那么= 运算中的不变性就是性质。 探究新知 探究 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质1 (对称性）如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2（传递性）如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c 证明：由两个实数大小关系的基本事实得， 因为a>b,所以a-b>0; 又因为b>c，所以b-c>0; 所以（a-b)+(b-c)>0, 所以a-c>0, 所以a>c 介值比较法 探究新知 性质3 （可加性）如果a>b,那么a+c>b+c 由性质3可得， a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b 不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边 探究新知 性质4 （可积性）如果a>b,c>0，那么ac>bc;如果a>b，c<0,那么ac<bc. 即，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。 性质5 （同向可加性）如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. （异向可减性）如果a>b，c<d，那么a-c>b-d. 证明：1、由a>b和性质3可得，a+c>b+c, 又因为c>d，所以b+c>b+d, 由性质2可得，a+c>b+d. 2、由a>b和性质3可得，a-c>b-c, 由因为c<d,所以b-c>b-d, 由性质2可得，a-c>b-d. 探究新知 性质6 （同向正数可乘性）如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. （异向正数可除性）如果a>b>0,0<c<d,那么> 证明：因为a>b>0和c>0,由性质4可得，ac>bc, 由因为c>d>0,所以bc>bd, 所以由性质2得ac>bd. 证明：因为=,由因为a>b>0和d>0,由性质4可得,ad>bd, 又因为0<c<d，所以cb<bd， 由性质2得，ad>cb,所以ad-cb>0, 又因为cd>0，所以,即. 探求新知 性质7 （乘方法则）如果a>b>0,那么an>bn（n. （开方法则）如果a>b>0,那么>（n. 性质8 （倒数法则）如果a>b>0,那么;如果a<b<0,那么 证明：因为=, 如果a>b>0,所以b-a<0,ab>0,所以<0,即; 如果a<b<0,所以b-a>0,ab>0,所以0,即; 归纳小结 不等式的基本性质： (对称性）a>b⇔b<a. （传递性）a>b,b>c⇒a>c （可加性）a>b⇒a+c>b+c. （可积性）a>b,c>0⇒ac>bc;a>b，c<0⇒ac<bc. （同向可加性）a>b，c>d⇒a+c>b+d. （异向可减性）a>b，c<d⇒a-c>b-d. （同向正数可乘性）a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. （异向正数可除性）a>b>0,0<c<d⇒> （乘方法则）a>b>0⇒an>bn（n. （开方法则）a>b>0⇒>（n （倒数法则）a>b>0⇒;a<b<0⇒. 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据。 例题精讲 例1 已知a>b>0,c<0,求证> a>b>0⇒ 证明：因为a>b>0，所以ab>0, . 由c<0,得 >. 例题精讲 例2 已知实数x,y满足-2x-1.2y3,求x-y,的取值范围。 解：因为2y3，所以-y-2， 所以-5x-y-3,即x-y的取值范围是{x-y|-5x-y-3}. 因为-2x-1,2y3,所以1-x2,, 所以,所以-1，即的取值范围是{|-1} 例3 已知-1a+b1,1a-2b3,则a+3b的取值范围是 解：设a+3b=(a+b)+=( 则解得由已知得， 上面两式相加，得-. 课堂练习 1、 下列命题为真命