4.5一元二次方程根的判别式 课件 2023—2024学年青岛版数学九年级上册

一元二次方程根 的判别式 一元二次方程判别式 §一复习提问： §1、一元二次方程的标准式是什么？ §2、一元二次方程的求根公式是什么？ §想一想：b2-4ac的符号与a+bx+c=0会有关系吗？ §1 做一做：用求根公式法解下列方程 § (1)x2-X-2=0 1(2X-6x+9=0 2(3)X -X+1=0 2 §看一看：上列三个方程的根与b-4ac的符号有关系吗？ 有什么关系？ 一元二次方程判别式 §猜一猜：对于一般aX+bx+c=0 (a≠0)的根与b -4ac的符号有什么关系？ 因为a?+bx+c=0（a≠0)的求根公式是 X= -b±√g -4a2a 故对于方程aX+bx+c=0(a0)有下列关系 当b-4ac≥0时，方程有两个不相等的根 -b+√b-4ac -b-6 2a -4ac 潮 当24ac=0时，方程有两个相等的根×，=× b 当b-4ac<0时，方程没有实数根 一元二次方程判别式 §反过来方程ax2+bx+c=0有两个实数根时b-4ac>0 §有两个相等的根时6-4ac=0 §没有实数根时b2-4ac<0 §由此可见b2-4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所 以把它叫一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判 别式。记作“△"读作“delta” 例1.不解方程，判别下列方程的根的情况 ☐2x2+3x-4=0 05(t2+1)=7t● 04y2+9=12y 解：(1)这里，a=2,b=3,c=-4. .△=b2-4ac=12-4×2×(-4)=1+32=33>0 .原方程有两个不相等的实数根。 (3)原方程即 5t2-6t+5=0 (2)原方程化为一般形式，得 这里，a=5,b=-6,c=5 4y2-12y+9=0 .'△=b2-4ac 这里，a=4,b=-12,c=9. =(-6)2-4×5×5 .△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9 =36-100 =144-144=0 =-64<0 .原方程有两个相等的实数根。 原方程没有实数根。 练一练 §1.不解方程，判别下列方程根的情况 (2m2+1)X2-2mx+1=0 §2.求证：无论m为何值，关于X的方程 X2+mx+(m-2)=0一定有两个不相等的实 数根。 潮 幼苏 议一议： ax2+bx+c=0(a10)中 若a与c异号则方程(A) A.有两个不相等的之数根 B.有两个相等的实数根 C没有实数根 0b2-4ac 超 D.根的情况无法确定 =b2+(4ac>0 例2.K为何值时，关于X的 方程X2-4X+K+1=0 有两个实数根？ §解：△=(-4)2-4(k+1) =16-4k-4 =12-4k 原方程有两个实数根 △≥0 即：12-4k≥0 k≤3时，原方程有两个实数根。 (看课本例2) 练习.已知关于x的方程2-2mx-2m-4 你能判断这个方程根的情况吗？是否与 的取值有关？ 解QD=4m2-4-2m-4) =4m2+8m+16 冠=4m2+2m+1)+12 =4m+1)2+12>0 .不论m为何值，这个方程总有两 个不相等的实数根。 幼 有新发现吗？ 方程(m-1)x2+2mx+m+2=0 有 实数根，则m的取值范围是 变 解QD=(2m2-4m-1m+2 4m2.4m2.4m+8 = =-4m+830\m￡2 义Qm-110即m11 \m￡2且m11