2.1.2两条直线平行和垂直的判定 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 学习目标 1.学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系,并解决相应的几何问题. 2.体会利用代数方法研究几何问题的基本方法. 3.促进数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展. 自主预习 1.已知两条直线l1,l2,若斜率存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则对应关系如下: 条件 斜率存在 斜率不存在 图示 对应关系 l1∥l2⇔　　　　  l1∥l2⇔　　　　  2.已知两条直线l1,l2,若斜率存在,分别为k1,k2,则对应关系如下: 图示 对应关系 l1与l2的斜率都存在,则l1⊥l2⇔　　　　  l1与l2中的一条斜率　　　　　(倾斜角为90°),另一条斜率为　　　　　(倾斜角为0°),则l1与l2的位置关系是　　　　　  课堂探究 探究一　两条平行直线斜率间的关系 问题1:我们知道,平面中的两条直线l1与l2的位置关系有:　　　　　.  问题2:当两条直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系?试着论证你的结论. 问题3:两条直线平行,它们的斜率一定相等吗? 思考:如何利用直线斜率证明“三点”共线问题? 探究二　两条垂直直线斜率间的关系 问题4:直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系?类比前面的研究进行讨论. 问题5:当两条直线垂直时,它们的斜率之积一定等于-1吗?为什么? 【学以致用】 例1　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. 例2　已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状. 思考:总结一下利用直线斜率判断几何图形形状的方法. 变式训练　已知点A(5,-1),C(2,3),点B在x轴上,且∠ABC为直角,求点B的坐标. 当堂专练 1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(　　) A.垂直 B.平行 C.重合 D.平行或重合 2.(多选题)如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能为(　　) A. B.a C.- D.不存在 3.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.在直角坐标平面内有两点A(4,2),B(1,-2),在x轴上有点C,使∠ACB=90°,则点C的坐标是(　　) A.(3,0) B.(0,0) C.(5,0) D.(0,0)或(5,0) 5.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　) A.20°,110° B.70°,70° C.20°,20° D.110°,20° 6.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=　　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　　.  7.若过点P(a,b),Q(b-1,a+1)的直线与直线l垂直,则直线l的倾斜角为　　　　　.  8.已知直线l1过点A(1,1),B(3,a),直线l2过点M(2,2),N(3+a,4). (1)若l1∥l2,则a的值为　　　　　.  (2)若l1⊥l2,则a的值为　　　　　.  9.如图,在▱OABC中,O为坐标原点,点C(1,3). (1)求OC所在直线的斜率; (2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线CD的斜率. 10.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; (2)试判断▱ABCD是否为菱形. 11.已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形ABCD为直角梯形. $$参考答案 自主预习 1.k1=k2　两直线斜率都不存在 2.k1·k2=-1　不存在　零　l1⊥l2 课堂探究 问题1:相交、平行 问题2:相等. 证明:如图,若l1∥l2,则l1与l2的倾斜角α1=α2,得tan α1=tan α2,即k1=k2. 因此,若l1∥l2,则k1=k2. 反之,当k1=k2时,tan α1=tan α2,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知,α1=α2,因此l1∥l2,k1=k2. 问题3:不一定,有可能它们的斜率都不存在. 当α1=α2=90°时,直线的斜率不存在,此时仍有l1∥l2. 思考:A,B,C三点共线⇔kAB=kAC⇔kAB=kBC⇔kBC=kAC. 问题4:l1⊥l2⇔α2=90°+α1,k2=tan α2=tan(90°+α1),k1=tan α1. 因为