第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第四章 | 三角函数与解三角形

第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念

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1．角的概念

2．弧度制的定义及公式

3．任意角的三角函数的定义

(1)借助单位圆：设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

(2)借助终边上点的坐标：设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

(3)三角函数在各个象限的符号简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

1．几点注意

(1)若α∈，则tan α>α>sin α.

(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．

(3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

(4)区分两个概念

①第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．

②不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．

2．常用结论

(1)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.

(2)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.

(3)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.

(4)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.

1．(人教A版必修①P175·T6改编)半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是(　 )

A．15°  B．20° 

C．30°  D.40°

答案：C

2．(人教B版必修③P15·例1改编)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为(　 )

A.  B．－ 

C.  D.－

解析：选D　因为sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α－cos α＝－－＝－.

3．(苏教版必修①P181·T6改编)已知α∈(0,2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围

是(　 )

A.  B． 

C.  D.

解析：选D　因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，故α∈，故选D.

4．(人教A版必修①P171·T4改编)角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在(　 )

A．第一或第三象限  B．第一或第二象限

C．第二或第四象限  D.第三或第四象限

解析：选A　当k为偶数时，α的终边在第一象限；当k为奇数时，α的终边在第三象限，故选A.

5．(北师大版必修②P8·T2改编)在0°到360°范围内，与405°终边相同的角为________．

答案：45°

考法一　任意角及其表示(自主练通)

1．(多选)下列四个命题中正确的是(　 )

A．－是第二象限角  B．是第三象限角

C．－400°是第四象限角  D.－315°是第一象限角

解析：选BCD　－是第三象限角，故A错误；＝π＋，所以是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故D正确，故选B、C、D.

2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　 )

解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围