第4章 第6节 第2课时 三角函数图象与性质的应用（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二课时　三角函数图象与性质的应用

[典例]　已知函数f(x)＝2sin·cos＋sin 2x＋a的最大值为1.

(1)求实数a的值；

(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

[解]　(1)f(x)＝2sincos＋sin 2x＋a＝sin＋sin 2x＋a＝cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a，∴2＋a＝1，∴a＝－1.

(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin－1＝2sin－1，

∵x∈，∴2x＋∈，∴当2x＋＝，即x＝0时，g(x)取得最大值为－1；

当2x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值为－3.

[方法技巧]

三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路

先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．　　

[针对训练]

1．(2023·鹰潭模拟)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx(ω>0)的相邻两条对称轴间的距离为，则下列说法错误的是(　 )

A．函数f(x)的最小值为－

B．函数f(x)在Error!，Error!上单调递减

C．函数f(x)的图象关于点中心对称

D．函数f(x)的图象是由函数g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的

解析：选D　因为f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＝sin 2ωx＋＝sin＋，且相邻两条对称轴间的距离为，所以T＝＝2×，解得ω＝1，即f(x)＝sin＋，所以函数f(x)的最小值为－1＋＝－，故A正确；当≤x≤时，≤2x＋≤，故f(x)＝sin＋单调递减，故B正确；当x＝－时，f＝0＋＝，所以函数关于中心对称，故C正确；由函数g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到y＝sin 2＋＝sin＋的图象，故D错误．

2.如图，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的图象与y轴交于点，且为该图象的最高点．

(1)求函数y＝f(x)在[0，π]上的零点；

(2)若函数y＝f(λx)在上单调递增，求正实数λ的取值范围．

解：(1)由题图可知，f(x)的最大值为1，所以A＝1.因为图象过点，所以sin φ＝－，又因为|φ|＜，所以φ＝－.因为为该图象的最高点，所以sin＝1＝sin，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝，所以函数y＝f(x)在[0，π]上的零点为，.

(2)f(λx)＝sin，λ＞0.因为x∈，所以2λx－∈.若函数y＝f(λx)在上单调递增，则有λπ－≤，解得λ≤，所以正实数λ的取值范围为.

[典例]　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，现将f(x)的图象向左平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，则方程exg(x)＝在[0,2π]上的实数解有(　 )

A．5个  B．6个

C．7个  D.8个

[解析]　观察函数f(x)的部分图象上相邻两个零点，可得×＝－，所以ω＝3.由f(x)在x＝＝处取得最大值，得3×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝.故f(x)＝Asin.由f＝Asin＋＝A·＝－A＝－1，得A＝，所以f(x)＝sin.

所以g(x)＝f＝sin＝sin＝cos 3x，则exg(x)＝，即cos 3x＝.

在同一平面直角坐标系内作出y＝cos 3x(x∈[0,2π])与y＝的图象，如图所示．

由图可知y＝cos 3x(x∈[0,2π])与y＝的图象共有7个交点，故原方程有7个实数解，故选C.

[答案]　C

[方法技巧]

对于不方便直接求出方程根的判断方程根个数的问题，我们可以用数形结合法求解，具体步骤是把方程根的个数转化为两个容易作的图象的交点问题，在坐标系中画出两个函数图象，判断交点个数即可．　　

[针对训练]

(2023·渭南模拟)若关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有实数根，求实数m的取值范围．

解：∵2sin2x－sin 2x＋m－1＝0，∴1－cos 2x－sin 2x＋m－1＝0，即cos 2x＋s