第3章 第2节 导数与函数的单调性（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第二节　导数与函数的单调性

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1．函数单调性与导数的关系

设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则

2.充分、必要条件与导数及函数单调性

(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．

(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．

(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件．

(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．

(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．

(3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．

1．(人教A版选择性必修②P86·例1(2)改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　 )

A．先增后减  B．先减后增

C．增函数  D.减函数

解析：选D　∵当x∈(0，π)时，f′(x)＝－sin x－1＜0，∴f(x)在(0，π)上是减函数．

2．(人教B版选择性必修③P112·T8(1)改编)函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　 )

A.

B.

C.

D.∪

解析：选C　因为函数f(x)＝2x2－ln x，x>0，所以f′(x)＝4x－＝＝，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的单调递减区间是.故选C.

3.(湘教版选择性必修②P30·T1改编)导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　 )

解析：选D　由题图可知当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合．

4．若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，

即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.

答案：[－3,0]

5．(苏教版选择性必修①P215·T12改编)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数a的值为________．

解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，即f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.

答案：－4

考法一　利用导数求函数的单调区间(自主练通)

1．已知函数f(x)满足f(x)＝f′(2)ex－2－f(0)x＋x2，则f(x)的单调递减区间为(　 )

A．(－∞，0)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)  D.(0，＋∞)

解析：选A　由题设f′(x)＝f′(2)ex－2－f(0)＋x，则f′(2)＝f′(2)－f(0)＋2，可得f(0)＝2，而f(0)＝f′(2)e－2＝2，则f′(2)＝2e2，所以f(x)＝2ex－2x＋x2，即f′(x)＝2ex－2＋x，则f′(0)＝0且f′(x)单调递增，当x<0时，f′(x)<0，即f(x)单调递减，故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．故选A.

2．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是(　 )

A．(0,1)  B．(－∞，1)

C．(－∞，0)  D.(0，＋∞)

解析：选C　f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．

3.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递减区间为(　 )

A．(0,4)  B．(－∞，1)，

C.  D.(0,1)，(4，＋∞)

解析：选D　易知f′(x)过点(0,0)与，当x<0或1<x<4时，f′(x)>f(x)，即g′(x)＝>0，则函数g(x)＝的单调递增区间为(－∞，0)，(1,4)．故选D.

4．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．

解析：f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．

令f′(x)＝0，得x＝或x＝，

当0<x<，<x<π时，f′(x)>0，

当<x<时，f′(x)<0，

∴f(x)在和上单调递增，