第3章 第4节 第1课时 利用导数研究不等式问题（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第四节　导数的综合应用

第一课时　利用导数研究不等式问题

[典例]　已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2－x.

(1)当a＝－时，求函数f(x)的极值；

(2)若曲线f(x)在(－2,1)上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a的取值范围．

　

[方法技巧]

1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，

可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．

2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”

[针对训练]

1．(2023·商洛一模)已知函数f(x)＝＋(b－1)x＋1.

(1)当a＝，b＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当a＝1时，f(x)≥2恒成立，求b的值．

解：(1)当a＝，b＝－1时，f(x)＝4ex－2x＋1，则f′(x)＝4ex－2，

又因为f(0)＝5，f′(0)＝2，

所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－5＝2(x－0)，

即y＝2x＋5.

(2)当a＝1时，令函数g(x)＝f(x)－2＝ex＋(b－1)x－1，

则f(x)≥2恒成立等价于g(x)≥0恒成立．

又g′(x)＝ex＋b－1，

当b≥1时，g′(x)＝ex＋b－1>0，g(x)在R上单调递增，显然不合题意；

当b<1时，令g′(x)＝ex＋b－1<0，得x<ln(1－b)，令g′(x)＝ex＋b－1>0，得x>ln(1－b)．

所以函数g(x)在(－∞，ln(1－b))上单调递减，在(ln(1－b)，＋∞)上单调递增，

所以当x＝ln(1－b)时，函数g(x)取得最小值．

又因为g(0)＝0，所以x＝0为g(x)的最小值点．

所以ln(1－b)＝0，解得b＝0.

2．已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)．

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

解：(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，

f(0)＝(0－2)e0＝－2，

f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1，

所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，

即x＋y＋2＝0.

(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立．

即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立．

当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R.

当x>2时，x2－x>0，

所以a≤＝恒成立．

设g(x)＝，则g′(x)＝，

因为x>2，所以g′(x)>0，

所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增．

所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2.

综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]．

[典例]　已知函数f(x)＝ex－x＋2x2.

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)若存在实数x，使得f(x)≤x2＋2x－3＋2m成立，求整数m的最小值．

[解题“微点”]

[解]　(1)由f(x)＝ex－x＋2x2，可得f′(x)＝ex＋4x－1.

又f″(x)＝ex＋4>0恒成立，则f′(x)在R上单调递增，且f′(0)＝0.

所以当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

所以当x＝0时，f(x)有极小值f(0)＝1－0＋0＝1，无极大值．

(2)存在实数x，使得f(x)≤x2＋2x－3＋2m成立，

即存在实数x，使得ex－x＋2x2≤x2＋2x－3＋2m，即ex＋x2－3x＋3≤2m成立，