第6章 第4节 第1课时 数列求和（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四节　数列求和及综合应用 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 第一课时　数列求和 1．分组转化法求和：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． 2．分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． [典例]　设数列{an}的前n项和为Sn，且满足3an－2Sn＝2(n∈N*)，{bn}是公差不为0的等差数列，b1＝1，b4是b2与b8的等比中项． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)对任意的正整数n，设cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n. [解]　 (1)在3an－2Sn＝2(n∈N*)中， 令n＝1得3a1－2a1＝2，∴a1＝2， 当n≥2时，3an－1－2Sn－1＝2， ∴3an－3an－1＝2Sn－2Sn－1＝2an， 即an＝3an－1， ∴＝3， ∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an＝2·3n－1， 设{bn}的公差为d，由题意可得b＝b2·b8， 即(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)， 整理得d2－d＝0，解得d＝1或d＝0(舍去)， ∴bn＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由题意可得cn＝ ∴T2n＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋2(31＋33＋35＋…＋32n－1)＝＋2·＝n(n＋2)＋(32n－1)＝n2＋2n＋－. [方法技巧]　利用分组转化法求和的3个关键点 会“列方程” 即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量 会“用公式” 会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式 会“分组求和” 观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列 [针对训练] (2023·惠州模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a2，a3＋2，a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公比为q(q>0)， 因为a1＝2，且a2，a3＋2，a4成等差数列， 所以a2＋a4＝2(a3＋2)，即2q＋2q3＝2(2q2＋2)，解得q＝2，所以an＝2n. (2)由(1)得，bn＝＋n， Tn＝＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝－. 裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． [典例]　(2023·衡水模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝18，a7＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设an＝log2(bn＋1)，求数列前n项和Tn. [解题微点] 切入点 (1)设公差为d，根据等差数列的通项公式及前n项和公式得到方程组，解得a1，d，即可求出通项公式； (2)由指数和对数的关系得到bn＝2n＋2－1，从而得到＝－，利用裂项相消法求和即可 障碍点 把裂为两项 [解]　(1)设公差为d，由S4＝18，a7＝9，即解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由an＝log2(bn＋1)，即log2(bn＋1)＝n＋2，所以bn＋1＝2n＋2，即bn＝2n＋2－1，所以＝＝，所以Tn＝＋＋＋…＋＝＝. [方法技巧]　常见数列的裂项方法 数列(n为正整数) 裂项方法 (k为非零常数) ＝ ＝ ＝(－) ＝－ (a>0，a≠1) loga＝loga(n＋1)－logan 提醒：利用裂项相消法求和时，要注意检验裂项前后是否等价，还要注意求和时正负相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． [针对训练] (2023·菏泽一模)已知数列{an}，{bn}满足anb1＋an－1b2＋…＋a1bn＝2n－－1，其中an＝2n. (1)求b1，b2的值及数列{bn}的通项公式； (2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和． 解：(1)因为an＝2n，所以a1＝2，a2＝4， 当n＝1时，由题设可得a1b1＝2－－1， 即2b1＝，所以b1＝； 当n＝2时，由题设可得a2b1＋a1b2＝2