第4章 第6节 第1课时 正弦定理和余弦定理（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第六节　解三角形 第一课时　正弦定理和余弦定理 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C ＝＝＝2R 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (3) ＝＝2R 2．三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修②P44·例6改编)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c＝(　 ) A. B．2 C. D.3 解析：选B　由余弦定理得cos B＝，即－＝，整理得c2＋c－6＝0，解得c＝2(负值已舍去)． 2．(苏教版必修②P93·T1改编)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　 ) A. B． C. D. 解析：选A　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，解得AB＝3，所以 cos B＝＝，故选A. 3．(苏教版必修②P101·T1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，△ABC的面积为5，则c＝________. 解析：由三角形面积公式得×4×5sin C＝5， 即sin C＝.又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝(舍负)． 答案： 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视角的范围)在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　 ) A．30° B．30°或150° C．60° D.60°或120° 解析：选A　由正弦定理得＝，解得sin A＝，因为a＜b，所以A为锐角，所以A＝30°，故选A. 2．(不能选择正确的定理解题)在△ABC中，已知A＝60°，c＝5，a＝7，则△ABC的面积为________． 解析：利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍去)， △ABC的面积S＝bc·sin 60°＝×8×5×＝10. 答案：10 Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．掌握三角形中的常用结论 (1)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B． (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (4)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝. (5)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. 2．关注使用正弦定理的易错点 (1)使用正弦定理时易忘比值还等于2R，即＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)． (2)在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 考法一　利用正弦定理、余弦定理解三角形(自主练通) 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝sin 2B，且b＝2，c＝，则a等于(　 ) A. B． C．2 D.2 解析：选C　由sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B及正、余弦定理得c＝2b·，代入数据得(2a＋1)(a－2)＝0，解得a＝2或a＝－(舍去)．故选C. 2．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　 ) A．cos C＝ B．sin B＝ C．a＝3 D.S△ABC＝ 解析：选AD　由A＋3C＝π，得B＝2C.根据正弦定理＝，得2sin C＝3×2sin Ccos C，又sin C>0，故cos C＝，sin C＝，故A正确；sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝，故B错误；由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，将b＝2，c＝3代入得a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1.若a＝3，则A＝C＝，且B＝，与sin B＝矛盾，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝absin C＝×1×2×＝，故D正确．故选A、D. 3．在△ABC