第7章 第3节 基本不等式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　基本不等式 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) (1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． (4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致． 1．代数式x2＋取得最小值时对应的x值为(　 ) A．2 B. C．±2 D．± 解析：选D　x2在分母的位置，则x2>0. x2＋≥2＝4，当且仅当x2＝，即x2＝2，x＝±时，取等号． 2．已知正数a，b满足ab＝8，则a＋2b的最小值是(　 ) A．4 B．6 C．2 D．8 解析：选D　由a，b为正实数，则a＋2b≥2＝2＝8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时等号成立． 3．若x<0，则x＋(　 ) A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2 答案：D 4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则xy的最大值是________． 解析：x>0，y>0，且x＋2y＝4，则4＝x＋2y≥2，解得xy≤2，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，所以xy的最大值是2. 答案：2 5．某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年产量的增长率为a，第三年产量的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x________(填“>”“<”“≤”“≥”“＝”)． 解析：依题意x＝－1， 由基本不等式得－1≤－1＝， 当且仅当a＝b时等号成立． 答案：≤ 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　配凑法求最值　 [题点全训] 1．若x＞2，则函数y＝x＋的最小值为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选D　∵x＞2，∴x－2＞0，∴y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号，∴函数y＝x＋的最小值为6. 2．已知0<x<3，则2x(3－x)的最大值为(　 ) A. B．3 C. D．4 解析：选C　因为0<x<3，所以3－x>0，所以2x(3－x)＝2·x(3－x)≤22＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时取等号．所以2x(3－x)的最大值为. 3．函数y＝(x>－1)的最小值为______． 解析：因为x>－1，则x＋1>0，所以y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，所以所求函数的最小值为9. 答案：9 [一“点”就过] 1．配凑法求最值 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 2．配凑法求解最值应注意的问题 (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 基础点(二)　常数代换法求最值　 [题点全训] 1．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　 ) A．2 B. C．4 D. 解析：选B　因为a>0，b>0，故2a＋b≥2 (当且仅当2a＝b时取等号)． 又因为2a＋b＝4，∴2 ≤4⇒0<ab≤2， ∴≥，故的最小值为.故选B. 2．若0<x<1，则＋的最小值为(　 ) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：选B　∵0<x<1，∴1－x>0，∴＋＝[x＋(1－x)]＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝时等号成立，故选B. 3．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值是________． 解析：因为x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，所以＋＝1，所以x＋y＝(x＋y