第5章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)平面向量运算的坐标表示 坐标表示 和(差)、数乘 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ为实数) 任一向量的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝ (2)平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则向量a，b共线的充要条件为x1y2－x2y1＝0. (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. (4)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0. (5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． 1．已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，则b＝(　 ) A．(1,2) B．(－1，－2) C．(－1,2) D．(1，－2) 答案：B 2.如图，＝2，＝a，＝b，＝c，下列等式中成立的是(　 ) A．c＝b－a B．c＝a－b C．c＝2a－b D．c＝2b－a 答案：B 3．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)， ∴＝＝，∴＝. 4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 答案： 5．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)． 解析：因为＝3，所以＝＝(a＋b)，又因为＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　平面向量的坐标运算　 [题点全训] 1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　 ) A．(－2,4) B．(－3，－5) C．(3,5) D．(－3，－7) 解析：选B　在平行四边形ABCD中， ＝(2,4)，＝(1,3)，所以＝－＝(－1，－1)，所以＝＋＝(－3，－5)． 2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　 ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：选A　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，∴从而C(－4，－2)，∴＝(－4－3，－2－2)＝(－7，－4)． 3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6,2)，即 解得∴＝4. 4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________. 解析：∵向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，∴a＋b＝(m＋1,3)．∵|a＋b|＝|a|＋|b|，∴＝＋，解得m＝2. 答案：2 [一“点”就过] 利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解． 层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　平面向量基本定理及其应用　 [典例]　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　 ) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n (2)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 [解析]　(1)因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝