第7章 第4节 合情推理与演绎推理（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　合情推理与演绎推理 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 2.体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理. 1．合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理 由部分到整体、由个别到一般 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理 2．演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (1)合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明． (2)在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误． (3)应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的． 1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　 ) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 答案：C 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　 ) A．28 B．32 C．33 D．27 解析：选B　5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3，x＝20＋3×4＝32. 3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　 ) A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．以上都不对 解析：选C　因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C. 4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8. 答案：1∶8 5．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为___________________． 解析：利用类比推理，借助等比数列的性质b＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)． 答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*) 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) (对应学生用书P137) 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础点(一)　归纳推理　 [题点全训] 1．如图1，规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形．已知图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，按上述规定得到第2行，共有2个正方形和1个三角形，按此规定继续可得到第3行，第4行，第5行，则在图2中第5行正方形的个数为(　 ) A．5 B．8 C．13 D．16 解析：选B　设an为第n行中正方形的个数，bn为第n行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，每个三角形产生下一行的1个正方形，则有an＋1＝an＋bn，bn＋1＝an， 整理得an＋1＝an＋an－1(n≥2)，且a1＝1，a2＝2， 则a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8. 所以第5行的正方形的个数为8.故选B. 2．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________. 解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2. 答案：n2 3．设函数f(x)＝(x>0)，观察： f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f[f1(x)]＝，f3(x)＝