第4章 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　三角恒等变换

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3.利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

4.能运用上述公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆.

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan 2α＝.

3．辅助角公式

一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ).

1．两角和与差的正切公式的变形

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

tan α·tan β＝1－＝－1.

2．降幂公式

3．升幂公式

4．其他常用变式

sin 2α＝＝；

cos 2α＝＝；

tan＝＝.

5．运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．

6．在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．

1．若sin α＝，则cos 2α＝(　 )

A.  B．  C．－  D．－

解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.

2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　 )

A．－  B．  C．－  D．

解析：选D　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.

3．设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝(　 )

A.  B．－  C．5  D．－5

解析：选A　由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝.

4．sin 15°＋sin 75°＝________.

解析：依题意得sin 15°＋sin 75°＝cos 75°＋sin 75°＝cos(75°－45°)＝.

答案：

5．已知cos α＝，α∈，则cos＝________.

解析：∵cos α＝，α∈，∴sin α＝＝，∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝.

答案：

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

层级一/ 基础点——自练通关(省时间)

基础点(一)　和、差公式的直接应用　

[题点全训]

1．(2023·福建师大附中高三模拟)已知点P(1,2)是角α终边上一点，则cos等于(　 )

A.  B．

C．－  D．

解析：选A　由题意可得sin α＝，cos α＝，则cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝，故选A.

2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　 )