第4章 第7节 解三角形应用举例（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第七节　解三角形应用举例

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实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)．

(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．

(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　 )

A．20 m  B．30 m

C．40 m  D．50 m

解析：选D　由三角形内角和定理可知

∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，

由正弦定理得：＝⇒＝⇒AB＝50 m，故选D.

2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝________m.

解析：在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，

CD＝10 m，由正弦定理＝

可得＝，

可得CB＝20×＝20 m，

在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，

所以塔高AB＝BC＝20 m.

答案：20

3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.

解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝－1.

答案：－1

4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.

解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，

AE＝，所以AD＝＝，

因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°

＝10(3－)．

答案：10(3－)

 重难点——逐一精研(补欠缺)

重难点(一)　测量距离问题　

[典例]　如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)

[解]　在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.

因为∠ABD＝120°，由正弦定理＝，解得AD＝(km)．

在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，

得9＝3＋CD2＋2××CD.

即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝(km)(负值舍去)，

故BC＝BD＋CD＝(km)．

小王和小李2个小时可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5 km，

而<＝＝2.5，

所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰．

[方法技巧]

距离问题的解题思路

这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．

[提醒]　①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．　　

[针对训练]

1．某船从A处向北偏东60°方向航行2 千米后到达B处，然后朝南偏西30°的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为(　 )

A. 千米  B．2 千米

C．3千米  D．6千米

解析：选B　如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝6，∠ABC＝30°，

由余弦定理得

AC＝

＝＝2，所以A处与C处之间的距离为2 千米．

故选B.

2．(2023·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　 )

A．240(－1) m  B．180(－1) m

C．120(－1) m  D．30(－1) m