专题04 根与系数的关系应用考题20道-【微专题】2023-2024学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题04 根与系数的关系应用最新考题20道 1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 2．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若、同号，求满足条件的的整数值． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为、，满足，求的值． 4．已知关于x的方程． (1)说明：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且，求出方程的根． 5．已知关于的方程有两个相等的实数根． (1)求的值； (2)若满足方程，试判断方程的根的情况． 6．已知：的两边的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为3，那么的周长是多少？ 7．已知关于x的方程． (1)若该方程的两个解为、，且，求此时该方程的解； (2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根． 8．已知：一元二次方程． (1)求证：此方程有实数根； (2)设方程的两个根满足，求的值． 9．已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 10．已知关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为，求k的值及方程另一个根． 11．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两根分别为，且，求的值． 12．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根分别为整数，求m的值． 13．已知关于x的方程． (1)证明：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两根分别为 ，且，证明：． 14．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为，满足，求的值． 15．已知关于x的方程：． (1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值． 16．关于的一元二次方程： (1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围； (2)若、是方程的两根，且．求的值． 17．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则_____，______；若2，3是方程的两根，则______，______； (2)已知，满足，，求的值； (3)已知，，满足，，则正整数的最小值为______． 18．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程的两根分别为，，则：，．请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)已知方程的两根分别为，，求的值． (3)若，是两个不相等实数，且满足，，那么　　． 19．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为x1，x2则， ． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为x1，x2，则　　，　　． (2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)类比应用：已知实数s、t满足，且，求的值． (4)思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 20．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 $$ 专题04 根与系数的关系应用最新考题20道 1．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当方程有两个不相等的实数根时，，列式计算出m的值； （2）根据一元二次根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入，中得：，，再根据，确定其m的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则当时，方程有两个不相等的实数根； （2）∵，， ， ∴