专题03 配方法的应用-【微专题】2023-2024学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题03 配方法的应用 1．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ∵， ∴． 因此，代数式有最小值﹣2； ②， ∵， ∴． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)求代数式的最大值． 2．已知关于x的一元二次方程 (1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根； (2)当时， ①若代数式，则___________； ②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值； (3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小． 3．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数” ；并判断40是否为“完美数” ； (2)【问题解决】若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； (3)【问题探究】已知“完美数”（x，y是整数）的值为0，则的值为 ； (4)【问题探究】已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． (5)【问题拓展】已知实数x，y满足，求的最小值． 4．规定：若（，m、n、p为有理数，为无理数）是一元二次方程（，a、b、c为有理数）的根，则也是该方程的根，称是该方程的一对“共轭无理根”． (1)写出一元二次方程的一对“共轭无理根”___________； (2)若是关于的一元二次方程的一个根，求有理数b、c的值___________； (3)关于的一元二次方程（，a、b为有理数）的一对“共轭无理根”是．若（m、n为有理数），求代数式的值． 5．我们知道，对于任意一个实数a，具有非负性，即“”．这个结论在数学中非常有用．很多情况下我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用“”来解决问题． 例如： ∵ ∴ ∴ (1)填空：        _______； (2)请用作差法比较与的大小，并写出解答过程； (3)填空：的最大值为_______． 6．阅读下面的材料，回答问题： 爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题． 例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1 （1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是　 　； （2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为　 　； （3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积． 7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 8．阅读下列材料：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．试利用“配方法”解决下列问题： 简单应用： （1）填空： ； 深入探究： （2）已知，求的值； 灵活应用： （3）比较代数式与的大小，并说明理由． 9．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）数53 “完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究问题】 （2）已知，则 ； （3）已知（x，y 是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； 【拓展结论】 （4）已知实数x、y满足，求的最大值． 10．【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”． 如果一个多项式不是完全平方